Monotónní sekvence

Monotónní posloupnost je posloupnost, jejíž prvky s rostoucím počtem neklesají, nebo naopak nepřibývají. Takové sekvence se často nacházejí ve výzkumu a mají řadu charakteristických rysů a dalších vlastností. Posloupnost jednoho čísla nemůže být považována za vzestupnou nebo sestupnou.

Definice

Nechť existuje množina, na které je zaveden relace pořadí . $X$

Posloupnost prvků množiny se nazývá neklesající , pokud každý prvek této posloupnosti nepřesahuje další. $\{x_n\}$ $X$

\{x_n\}

- neklesající

{\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\leqslant x_{n+1))

Posloupnost prvků množiny se nazývá nerostoucí , pokud každý další prvek této posloupnosti nepřesahuje předchozí. $\{x_n\}$ $X$

\{x_n\}

- nerostoucí

{\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\geqslant x_{n+1))

Posloupnost prvků množiny se nazývá rostoucí , pokud každý další prvek této posloupnosti převyšuje předchozí. $\{x_n\}$ $X$

\{x_n\}

- vzrůstající

{\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}<x_{n+1))

Posloupnost prvků množiny se nazývá klesající , pokud každý prvek této posloupnosti přesahuje další. $\{x_n\}$ $X$

\{x_n\}

- klesající

{\displaystyle \Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}>x_{n+1))

Posloupnost se nazývá monotónní , pokud je buď neklesající, nebo nerostoucí. [jeden]

Posloupnost se nazývá přísně monotónní , pokud je buď rostoucí nebo klesající.

Je zřejmé, že přísně monotónní sekvence je monotónní.

Někdy se používá varianta terminologie, ve které je termín „rostoucí sekvence“ považován za synonymum pro termín „neklesající sekvence“ a termín „klesající sekvence“ je považován za synonymum pro termín „neklesající sekvence“. rostoucí posloupnost“. V takovém případě se rostoucí a klesající sekvence z výše uvedené definice nazývají "přísně rostoucí" a "přísně klesající".

Intervaly monotónnosti

Může se ukázat, že výše uvedené podmínky nejsou splněny pro všechna čísla , ale pouze pro čísla z určitého rozsahu $n\in {\mathbb N}$

I=\{n\in {\mathbb N}\mid N_{{-}}\leqslant n<N_{{+}}\}

(zde lze pravou hranici otočit do nekonečna). V tomto případě se sekvence nazývá monotónní na intervalu a samotný rozsah se nazývá interval monotónnosti sekvence. ${\displaystyle N_{+))$ $já$ $já$

Příklady

Posloupnost přirozených čísel .
- $\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}=n$ .
- Počáteční segmenty: . $(1,2,3,4,5,6,7,8,\ctečky)$
- Zvyšující se sekvence.
- Skládá se z přirozených čísel.
- Omezeno zdola, neomezeno shora.

Fibonacciho sekvence .
- $x_{n}={\begin{cases}1,&n=1\lor n=2\\x_{{n-1}}+x_{{n-2}},&n\geqslant 3\end{cases} }$
- Počáteční segmenty: . $(1,1,2,3,5,8,13,21,\ctečky)$
- Neklesající sekvence.
- Skládá se z přirozených čísel.
- Omezeno zdola, neomezeno shora.

Geometrická progrese se základnou . $1/2$
- $\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}={\frac {1}{2^{{n-1))))$ .
- Počáteční segmenty: . $(1.1/2.1/4.1/8.1/16,\cdots )$
- Sestupná sekvence.
- Skládá se z racionálních čísel .
- Omezené na obou stranách.

Posloupnost, která konverguje k číslu e .
- $\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ .
- Počáteční segmenty: . $(2.9/4.64/27.625/256,\cdots)$
- Zvyšující se sekvence.
- Skládá se z racionálních čísel , ale konverguje k transcendentálnímu číslu .
- Omezené na obou stranách.

Posloupnost racionálních čísel tvaru není monotónní. Na intervalu však (striktně) klesá a na intervalu (striktně) roste . $x_{n}=\,\!(n-5)^{2}$ $\{1,\,\!2,3,4\}$ $\{n\in {\mathbb N}\mid n\geqslant 5\}$

Vlastnosti

Omezení.
- Každá neklesající posloupnost je zdola ohraničena.
- Každá nerostoucí posloupnost je shora ohraničena.
- Každá monotónní sekvence je ohraničena alespoň na jedné straně.

Monotónní posloupnost konverguje právě tehdy, je-li ohraničena na obě strany. ( Weierstrassova věta o ohraničené monotónní posloupnosti )
- Konvergentní neklesající posloupnost je shora omezena svou limitou .
- Konvergentní nerostoucí posloupnost je zdola omezena limitou.

Poznámky

↑ V. A. Iljin , V. A. Sadovničij , Bl. H. Sendov . Kapitola 3. Teorie limit // Matematická analýza / Ed. A. N. Tichonova . - 3. vyd. , revidováno a doplňkové - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 68 - 105. - 672 s. — ISBN 5-482-00445-7 .

Viz také

Monotónní funkce