Monotónní operátor

Monotónní operátor je operátor, který splňuje podmínku monotónnosti. Pojem monotónního operátora je zobecněním pojmu monotónní funkce . Je široce používán ve funkcionální analýze při studiu a přibližném řešení okrajových úloh pro parciální diferenciální rovnice.

Definice

Dovolit být lineární topologický prostor a být libovolné prvky . Označte skalární součin prvků , je normou v prostoru . Operátor se jmenuje: $X$ $u,v$ $u,v\in X$ $\langle u,v\rangle$ $u,v$ $\|.\|$ $X$ $A\in (X\to X*)$

monotónní jestliže ; $\langle Au-Av,uv\rangle \geqslant 0$
přísně monotónní if for ; $\langle Au-Av,uv\rangle >0$ $u\neq v$
d - monotónní jestliže pro nějakou přísně rostoucí funkci on ; $\langle Au-Av,uv\rangle \geqslant (\alpha (\|u\|)-\alpha (\|v\|))(\|u\|-\|v\|)$ $\alpha$ $\left[0,\infty \right)$
jednotně monotónní jestliže pro nějakou přísně rostoucí funkci na c ; $\langle Au-Av,uv\rangle \geqslant \rho (\|uv\|)$ $\rho$ $\left[0,\infty \right)$ $\rho (0)=0$
silně monotónní (s konstantní monotónností m) jestliže , . ${\displaystyle \langle Au-Av,uv\rangle \geqslant m\|uv\|^{2))$ $m>0$
radiálně spojitá , pokud je pro jakoukoli pevnou reálnou funkci spojitá na . $u,v\in X$ $s\to \langle A(u+sv),v\rangle$ $\left[0,1\right]$
coercive , pokud existuje reálná funkce s , taková, že $\left[0,\infty \right)$ $\gamma$ $\lim _{s\to \infty }=+\infty$ $\langle Au,u\rangle \geqslant \gamma (\|u\|)\|u\|$

Základní věta teorie monotónních operátorů

Dovolit být radiálně spojitý monotónní donucovací operátor. Pak je množina řešení rovnice pro libovolné neprázdná, slabě uzavřená a konvexní [1] . $A\in (X\to X*)$ $Au=f$ $f\in X*$

Poznámky

↑ Gaevsky, 1978 , s. 95.

Literatura

Gaevsky H., Gröger K., Zacharias K. Nelineární operátorové rovnice a operátorové diferenciální rovnice. — M .: Mir, 1978. — 336 s.
Vainberg MM Variační metoda a metoda montonních operátorů v teorii nelineárních rovnic. — M .: Nauka, 1972. — 416 s.