Mychelský

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 10. listopadu 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Mycielského nebo Mycielského graf neorientovaného grafu je graf vytvořený aplikací Mycielského konstrukce ( Mycielski 1955 ). Design zachovává absenci trojúhelníků , ale zvyšuje chromatické číslo . Mycelsky ukázal, že opakovaným opakováním konstrukce do počátečního bez trojúhelníkového grafu lze získat grafy bez trojúhelníků libovolně velké velikosti.

Konstrukce

Nechť n vrcholů daného grafu G je v 0 , v 1 a tak dále. Mycielského graf μ( G ) G obsahuje G jako podgraf a n +1 dalších vrcholů — jeden vrchol u i pro každý vrchol v i G a jeden další vrchol w . Každý vrchol u i je spojen hranou s w tak, že vrcholy tvoří hvězdu K 1, n . Navíc pro každou hranu v i v j grafu G obsahuje Mycielského graf dvě hrany — u i v j a v i u j .

Má -li tedy G n vrcholů a m hran, μ( G ) má 2 n + 1 vrcholů a 3 m + n hran.

Příklad

Ilustrace ukazuje Mycielského konstrukce aplikované na cyklus s pěti vrcholy - v i pro 0 ≤ i ≤ 4. Výsledným Mycielskiánem je Grötschův graf , graf s 11 vrcholy a 20 hranami. Gröczův graf je nejmenší graf bez trojúhelníku s chromatickým číslem 4 ( Chvátal 1974 ).

Vícenásobné opakování mychelské konstrukce

Opakovaným aplikováním konstrukce mycelského grafu, počínaje grafem s jednou hranou, získáme posloupnost grafů M i = μ( M i -1 ), někdy též nazývanou Mycelského grafy. Prvních několik grafů v této sekvenci jsou grafy M 2 = K 2 se dvěma vrcholy spojenými hranou, cyklus M 3 = C 5 a Grötzschův graf s 11 vrcholy a 20 hranami.

Obecně platí, že grafy M i v posloupnosti nemají trojúhelníky , ( i -1) - vrcholově spojené a i - chromatické . Mi má 3 × 2 i -2 - 1 vrcholy (sekvence A083329 v OEIS ) . Počet hran v M i pro malé i je

0, 0, 1, 5, 20, 71, 236, 755, 2360, 7271, 22196, 67355, ... (sekvence A122695 v OEIS ).

Vlastnosti

Jestliže G má chromatické číslo k , pak μ( G ) má chromatické číslo k + 1 ( Mycielski 1955 ).
Jestliže G nemá žádné trojúhelníky , pak μ( G ) také nemá žádné trojúhelníky ( Mycielski 1955 ).
Shrneme-li, pokud má G číslo kliknutí ω ( G ), pak μ ( G ) má číslo kliknutí Max (2, ω ( G )) ( Mycielski 1955 ).
Jestliže G je kvocientově kritický graf , pak také μ( G ) ( Došlić 2005 ). Zejména každý graf Mi pro i ≥ 2 je faktor-kritický.
Jestliže G je hamiltonovský cyklus , pak také μ( G ) ( Fisher, McKenna, Boyer 1998 ).
Pokud má G dominantní číslo γ( G ), pak μ( G ) má dominantní číslo γ( G )+1 ( Fisher, McKenna, Boyer 1998 ).

Kužel nad počty

Zobecnění Mychelskian, nazývané kužel nad počtem, zavedl Stiebitz ( Stiebitz 1985 ) a následně jej studovali Tardif (Tardiff 2001 ) a Lin, Wu, Lem a GU (LIN, WU, LAM, GU 2006 ).

Пусть G — граф с множеством вершин a множеством ребер . Пусть дано целое число . Для графа G назовём m-мычельскианом граф с множеством вершин ${\displaystyle V^{0}=\left\{v_{1}^{0},v_{2}^{0},...,v_{n}^{0}\right\))$ $E^{0}$ $m\geq 1$ $\mu _{m}(G)$

{\displaystyle V^{0}\cup V^{1}\cup V^{2}\cup ...\cup V^{m}\cup \left\{u\right\))

kde je i-tá kopie pro a množina hran ${\ Styl zobrazení v^{i} = \ vlevo \ {v_ {j}^{i}: v_ {j} {0} \ ve v^{0} \ vpravo}}}}}}}}}}} }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} }}}}}}}}}}}}}} "$ $V^{0}$ $i=1,2,...,m$

E^{0}\cup \left(\bigcup _{i=0}^{m-1}\left\{v_{j}^{i}v_{j'}^{i+1} :v_{j}^{0}v_{j'}^{0}\v E^{0}\vpravo\}\vpravo)\pohár \left\{v_{j}^{m}u:v_{ j}^{m}V^{m}\right\}

Definujte jako graf získaný přidáním univerzálního vrcholu u. Je zřejmé, že mychelskian je jen [1] . $\mu _{0}(G)$ $\mu _{1}(G)$

Poznámky

↑ Lin, Wu, Lam, Gu, 2006 .

Literatura

Václav Chvátal. Grafy a kombinatorika (Proc. Capital Conf., George Washington Univ., Washington, DC, 1973). - Springer-Verlag, 1974. - T. 406. - S. 243-246. — (Poznámky z matematiky).
Tomislav Došlić. Mycielskians a párování // Diskuze Mathematicae Graph Theory. - 2005. - T. 25 , no. 3 .
David C. Fisher, Patricia A. McKenna, Elizabeth D. Boyer. Hamiltonicita, průměr, dominance, balení a biclique rozdělení Mycielskiho grafů // Diskrétní aplikovaná matematika. - 1998. - T. 84 , no. 1-3 . - S. 93-105 . - doi : 10.1016/S0166-218X(97)00126-1 .
Wensong Lin, Jianzhuan Wu, Peter Che Bor Lam, Guohua Gu. Několik parametrů zobecněných Mycielských // Diskrétní aplikovaná matematika. - 2006. - T. 154 , č. 8 . - S. 1173-1182 . - DOI : 10.1016/J.Dam.2005.11.001 .
Jan Mycielski. Sur le coloriage des graphes // Colloq. Matematika.. - 1955. - T. 3 . - S. 161-162 .
M. Stiebitz. Beiträge Zur Theorie Der Färbungskritschen Graphen. - Habilition byesis, Technische University ilmenau , 1985. Jak citoval Tardif (Tardiff 2001 ).
C. Tardif. ZLOMČKOVÉ CROMATICKÉ ČÍSLA KUŽELŮ NAD GRAFY // Journal of Graph theory. - 2001. - T. 38 , no. 2 . - S. 87-94 . - DOI : 10.1002/ jgt.1025 .
Weisstein, Eric W. Mycielski Graph (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .