Carlemanova nerovnost

Carlemanova nerovnost je matematická nerovnost pojmenovaná po švédském matematikovi Thorstenu Carlemanovi , který tuto nerovnost publikoval a dokázal v roce 1923 [1] . Carlemanovu nerovnost lze považovat za variaci klasické nerovnosti mezi aritmetickým průměrem a geometrickým průměrem . Carleman použil tuto nerovnost k prokázání Denjoy-Carlemanovy věty o kvazianalytických funkcích [2] [3] .

Formulace

Dovolit být posloupnost nezáporných reálných čísel . Pak platí následující nerovnost: ${\displaystyle \{a_{1},a_{2},a_{3}\tečky \))$

\sum _{n=1}^{\infty }{\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\tečky a_{n))}\leqslant e\sum _{n= 1}^{\infty }a_{n}.

Koeficient e (Eulerovo číslo) v nerovnosti je optimální, to znamená, že nerovnost není vždy splněna, pokud je e nahrazeno menším číslem. Nerovnice se stává striktní (se znaménkem „menší než“, nikoli „menší nebo rovno“), pokud alespoň jedna není rovna nule [4] . $a_n$

Integrální verze

Carlemanova nerovnost má integrální verzi vhodnou pro jakoukoli nezápornou funkci : $f(x)$

\int \limits _{0}^{\infty }\exp \left\{{\frac {1}{x}}\int \limits _{0}^{x}\ln f(t) dt\right\}dx\leqslant e\int \limits _{0}^{\infty }f(x)dx

Carlesonova nerovnost

V roce 1954 navrhl Lennart Carleson zobecnění Carlemanovy integrální nerovnosti [5] :

Dovolit být konvexní funkce a Pak pro libovolné číslo platí následující nerovnost: $g(x)$ $g(0)=0.$ $p>-1$

\int \limits _{0}^{\infty }x^{p}e^{-g(x)/x}dx\leqslant e^{p+1}\int \limits _{0} ^{\infty }x^{p}e^{-g'(x)}dx.

Carlemanova nerovnost je získána z Carlesonovy nerovnosti pro $p=0.$

Důkaz

Základní důkaz je uveden níže. Aplikujme klasickou nerovnost mezi aritmetickým průměrem a geometrickým průměrem na posloupnost : $1\cdot a_{1},2\cdot a_{2},3\cdot a_{3}\dots$

M_{geom}(a_{1},\tečky ,a_{n})=M_{geom}(1a_{1},2a_{2},\tečky ,na_{n})(n!)^ {-1/n}\leqslant M_{aritmus}(1a_{1},2a_{2},\tečky ,na_{n})(n!)^{-1/n}

kde je geometrický průměr a je aritmetický průměr . Dále vypíšeme nerovnost získanou ze Stirlingova vzorce : $M_{geom}$ $M_{aritmus}$

n!\geqslant {\sqrt {2\pi n}}\,n^{n}e^{-n}

nebo nahrazením za : $n$ $n+1$

(n!)^{-1/n}\leqslant {\frac {e}{n+1))

pro každého

n\geqslant 1.

Odtud:

M_{geom}(a_{1},\tečky ,a_{n})\leqslant {\frac {e}{n(n+1)))\,\sum _{1\leq k\leq n}ka_{k}\,,

nebo:

\sum _{n\geqslant 1}M_{geom}(a_{1},\tečky ,a_{n})\leqslant \,e\,\sum _{k\geqslant 1}{\bigg ( }\součet _{n\geqslant k}{\frac {1}{n(n+1)}}{\bigg )}\,ka_{k}=\,e\,\součet _{k\geqslant 1 }\,a_{k}\,,

čímž je důkaz dokončen.

Carlemanovu nerovnost lze také odvodit z Hardyho nerovnosti :

\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{ p}\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}

pro nezáporná čísla a ; abychom toho dosáhli, musíme nahradit nekonečnem a mít sklon k nekonečnu. $a_n$ $p>1$ $a_n$ ${\displaystyle a_{n}^{1/p))$ $p$

Poznámky

↑ T. Carleman . Sur les fonctions quasi-analytiques, Conférences faites au cinquième congres des mathématiciens Scandinaves, Helsinki (1923), 181-196.
↑ Duncan, John. Carlemanova nerovnost (anglicky) // Amer. Matematika. Měsíční : deník. - 2003. - Sv. 110 , č. 5 . - str. 424-431 . - doi : 10.2307/3647829 .
↑ Pecaric, Josip. Carlemanova nerovnost: historie a nová zobecnění // Aequationes Mathematicae : deník. - 2001. - Sv. 61 , č. 1-2 . - str. 49-62 . - doi : 10.1007/s000100050160 .
↑ Hardy, Littlewood, Poya 2006 , věta 334.
↑ Carleson, L. Důkaz nerovnosti Carlemana // Proc . amer. Matematika. soc. : deník. - 1954. - Sv. 5 . - S. 932-933 . - doi : 10.1090/s0002-9939-1954-0065601-3 .

Literatura

Xapdy G. G. , Littlewood D. E. , Polia D. Nerovnosti = nerovnosti. - M. : KomKniga, 2006. - 458 s. — ISBN 5-484-00363-6 .
Rassias, Thermistocles M., redaktor. Průzkum o klasických nerovnostech (neopr.) . - Kluwer Academic , 2000. - ISBN 0-7923-6483-X . CS1 maint: Extra text: seznam autorů (odkaz) Rassias, Thermistocles M., editor. Průzkum o klasických nerovnostech (neopr.) . - Kluwer Academic , 2000. - ISBN 0-7923-6483-X .
Hormander, Lars. Analýza lineárních parciálních diferenciálních operátorů I : teorie rozdělení a Fourierova analýza, 2. vydání . — Springer, 1990. - ISBN 3-540-52343-X .

Odkazy

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Carlemanova nerovnost , Encyklopedie matematiky , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4