Schurova nerovnost

V matematice Schurova nerovnost , pojmenovaná po matematikovi Isai Schurovi , říká, že pro libovolná nezáporná reálná čísla a nerovnost platí: $x, y, z$ $t$

$x^{t}(xy)(xz)+y^{t}(yx)(yz)+z^{t}(zx)(zy)\geqslant 0$

kromě toho je rovnosti dosaženo právě tehdy, když se dvě nebo více čísel mezi nimi navzájem rovná a třetí se rovná nule. Pokud je to přirozené a rovnoměrné , pak nerovnost bude platit pro všechny skutečné . $x=y=z$ $t$ $x, y, z$

Nejběžnější a nejznámější aplikací nerovnosti je speciální případ, kdy : $t = 1$

$x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geqslant x^{2}y+x^{2}z+y^{2}x+y^{2} z+z^{2}x+z^{2}y$

Důkaz

Protože nerovnost je symetrická vzhledem k proměnným , můžeme bez ztráty obecnosti předpokládat, že . Pak se Schurova nerovnost stane ekvivalentní následující nerovnosti: $x,y,z$ $x\geqslant y\geqslant z$

$(xy)[x^{t}(xz)-y^{t}(yz)]+z^{t}(zx)(zy)\geqslant 0$

což se dělá, protože . Z této úvahy je také zřejmé, že rovnost je možná pouze pro nebo a . Uvážíme-li varianty symetrické k této, můžeme dospět k závěru, že v původní nerovnosti je rovnosti dosaženo tehdy a jen tehdy, jsou-li si kterákoli dvě čísla rovna a třetí je rovno nule, což bylo třeba dokázat. $x^{t}(xz)\geqslant x^{t}(yz)\geqslant y^{t}(yz)$ $x=y=z$ $x=y$ $z=0$ $x=y=z$ $x, y, z$

Zobecnění

Zobecněním Schurovy nerovnosti je následující nerovnost: pro všechny reálné a nezáporné reálné : $x, y, z$ $a,b,c$

$a(xy)(xz)+b(yx)(yz)+c(zx)(zy)\geqslant 0$

pokud je splněna alespoň jedna z následujících podmínek:

$x\geqslant y\geqslant z$ a $a\geqslant b$
$x\geqslant y\geqslant z$ a $c\geqslant b$
$x\geqslant y\geqslant z$ a $a+c\geqslant b$
$x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0$ a $ax\geqslant by$
$x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0$ a $cz\geqslant by$
$x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0$ a $ax+cz\geqslant by$
$a,b,c$ - strany nějakého trojúhelníku (možná degenerované)
$a,b,c$ - čtverce stran nějakého trojúhelníku (možná degenerace)
$ax,by,cz$ - strany nějakého trojúhelníku (možná degenerované)
$ax,by,cz$ - čtverce stran nějakého trojúhelníku (možná degenerace)
Existuje konvexní nebo monotónní funkce , kde je interval obsahující čísla , , , a , , $f:\mathbb {I} \longrightarrow \mathbb {R^{+}}$ ${\mathbb {I}}$ $X$ $y$ $z$ $a=f(x)$ $b=f(y)$ $c=f(z)$