Odd Greedy Decomposition

Odd chamtivá expanze je metoda konstrukce egyptských zlomků , ve které jsou všichni jmenovatelé lichí.

Pokud je racionální číslo součtem lichých alikvotních zlomků : $x/y$

{\frac {x}{y}}=\sum {\frac {1}{2a_{i}+1}}

pak musí být číslo liché. Naopak je známo, že v případě lichého čísla má libovolný zlomek tvaru rozšíření s lichými jmenovateli, ve kterých jsou všichni jmenovatelé zlomků různí. Například takový rozklad lze nalézt nahrazením za , kde je číslo tvaru pro dostatečně velké , a poté reprezentováním jako součet dělitelů [1] . $y$ $y$ $x/y$ $x/y$ $Ax/Ay$ $A$ ${\displaystyle 35\times 3^{i))$ $i$ $Sekera$ $Ay$

Existuje však jednodušší chamtivý algoritmus , který úspěšně najde egyptské zlomky s lichými jmenovateli pro všechna čísla (s lichým ), na kterých se testuje: nechť je nejmenší liché číslo ne menší než , zlomek se zahrne do rozšíření a proces pokračuje pro zbytkovou frakci . Tato metoda se nazývá lichý greedy algoritmus a výsledný rozklad se nazývá lichý greedy rozklad. $x/y$ $y$ $u$ $y/x$ $1/u$ $x/y-1/u$

Otázka zda proces expanze skončí v konečném počtu kroků pro nějaké liché číslo [2] zůstala otevřená jak 2006 . $x/y$ $y$

Použití algoritmu na zlomek se sudým jmenovatelem dává nekonečný rozvoj. Například sekvence Sylvester může být viděna jako výsledek algoritmu lichých hrabivých zlomků . $1/2$

Příklad

Nechť x / y = 4/23.

23/4 = 5 ¾, další větší liché číslo je 7. V prvním kroku tedy dostaneme rozšíření:

4/23 = 1/7 + 5/161.

161/5 = 32 1/5, další větší liché číslo je 33. V dalším kroku tedy dostaneme rozšíření:

4/23 = 1/7 + 1/33 + 4/5313.

5313/4 = 1328 1/4, další větší liché číslo je 1329. Ve třetím kroku tedy dostaneme rozšíření:

4/23 = 1/7 + 1/33 + 1/1329 + 1/2353659.

Protože se ve třetím kroku v čitateli získá jednotka zbytkové frakce, proces se zastaví a v důsledku toho se získá konečná expanze.

Zlomky s dlouhými expanzemi

Odd greedy algoritmus může generovat rozklady, které jsou kratší než obvyklý greedy rozklad as menšími jmenovateli [3] . Například,

{\frac {8}{77}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{257}}+{\frac {1}{197890}}={\frac {1}{11}}+{\frac {1}{77}},

kde rozklad nalevo je získán chamtivým algoritmem a rozklad napravo je získán lichým chamtivým algoritmem. Výsledek rozkladu lichým chamtivým algoritmem je však zpravidla delší a má velké jmenovatele. Například [4] , lichá chamtivá expanze 3/179 dává 19 členů, z nichž největší je přibližně roven 1,415×10 439491 . Je zajímavé, že čitatelé expanzních zlomků tvoří posloupnost celých čísel:

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 1.

K podobným případům dochází u jiných čísel, jako je 5/5809 (příklad nalezený nezávisle KS Brownem a Davidem Baileym ), v takovém případě má expanze 31 členů. Ačkoli je obtížné vypočítat jmenovatele tohoto rozšíření kvůli jejich naprosté velikosti, lze posloupnost čitatelů najít relativně efektivně pomocí modulární aritmetiky . V roce 1999 [5] jsou popsány některé další příklady tohoto typu a jsou uvedeny metody pro nalezení zlomků, které dávají libovolně dlouhé expanze.

Literatura

R. Breusch. Speciální případ egyptských zlomků, řešení pokročilé úlohy 4512 // American Mathematical Monthly . - 1954. - T. 61 . - S. 200-201 .
Richard K Guy. Nevyřešené problémy v teorii čísel. - 1981. - S. 88. - ISBN 0-387-90593-6 .
Richard K Guy. Není nic nového v teorii čísel? // Americký matematický měsíčník . - 1998. - T. 105 , no. 10 . - S. 951-954 . - doi : 10.2307/2589289 . — .
Victor Klee, Stan Wagon. Neřešené problémy v elementární geometrii a teorii čísel. — 1991.
Richard Nowakowski. Nevyřešené problémy, 1969-1999 // American Mathematical Monthly . - 1999. - T. 106 , vydání. 10 . - S. 959-962 . - doi : 10.2307/2589753 . — .
BM Stewart. Součty odlišných dělitelů // American Journal of Mathematics . - 1954. - T. 76 , čís. 4 . - S. 779-785 . - doi : 10.2307/2372651 . — .
Stan Wagon. Mathematica v akci . - W. H. Freeman, 1991. - S. 275 -277. — ISBN 0-7167-2202-X .
MathPages - Odd-Greedy Unit Fraction Expansions , KS Brown