Zobecněné rozložení

Zobecněné schéma rozložení [ 1] [2] [3] částic v buňkách je definováno následovně.

Definice

Nechť nezáporné celočíselné náhodné proměnné (r.v.) , jejichž součet se rovná , jsou spojeny s nezápornými celočíselnými nezávislými r.v. následující poměr: $\eta_1,\tečky,\eta_N$ $n$ $\xi_1,\tečky,\xi_N$

\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\tečky,\eta_N=k_N\}=\mathbb{P}\{\xi_1=k_1,\tečky,\xi_N=k_N\;|\;\xi_1+\tečky+ \xi_N=n\}\qquad(1)

pro všechna nezáporná celá čísla , jejichž součet je roven . Pak říkají, že r.v. vytvořit zobecněné schéma rozvržení (GSR). $k_1,\tečky,k_N$ $n$ $\eta_1,\tečky,\eta_N,\xi_1,\tečky,\xi_N$

Pokud je GSR symetrický, to znamená, že všechny r.v. mají stejné rozdělení, pak pravděpodobnost napravo v (1) lze zapsat jako: $\xi_k$

\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\tečky,\eta_N=k_N\}=\frac{p_{k_1}\tečky p_{k_N}}{\sum\limits_{j_1+\tečky+j_N=n} p_{j_1}\tečky p_{j_N}},\qquad(2)

kde $p_k=\mathbb{P}\{\xi_1=k\},\quad k=0,1,2\tečky$

Typy schémat

Kanonické uspořádání

Nejběžnějším případem OCP je kanonické alokační schéma [ 4] pro které

\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\tečky,\eta_N=k_N\}=\frac{b_{k_1}\tečky b_{k_N)){\sum\limits_{j_1+\tečky+j_N=n} b_{j_1}\tečky b_{j_N}},\qquad(3)

kde je posloupnost nezáporných čísel taková, že , poloměr konvergence řady je 1 a maximální krok podpory posloupnosti je 1. $b_0, b_1,\tečky$ $b_0>0$ $B(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty b_kx^k$ $b_0, b_1,\tečky$

Ke kanonickému schématu lineární transformací r.v. všechna schémata tvaru (3) jsou redukována bez výše uvedených omezení posloupnosti pouze s jednou podmínkou - konečným a nenulovým poloměrem konvergence . Schéma (3) je zjevně konkrétní případ (2) a tedy (1). $\eta_1,\tečky,\eta_N$ $\{b_k\}$ $B(x)$

Klasické rozložení

Klasické schéma umístění (schéma ekvipravděpodobného umístění částic v buňkách), [2] ve kterém

\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\tečky,\eta_N=k_N\}=\frac{n!}{k_1!\dots\;k_N!N^n},

neredukuje na kanonický, protože poloměr konvergence je roven nekonečnu. Ale je to speciální případ (2) (a tedy (1)). $B(x)=e^x$

Aplikace

Alokační schémata ve tvaru (1), (2) a (3) jsou vhodným prostředkem pro studium takových náhodných objektů, jako jsou Galton-Watsonovy lesy ., [5] náhodné substituce , [3] rekurzivní lesy [6] atd.

Viz také

obří součástka

Literatura

↑ Kolchin V. F. Náhodná zobrazení. — M .: Nauka, 1984.
↑ 1 2 Kolchin V. F., Sevastyanov B. A., Chistyakov V. P. Náhodná umístění. — M .: Nauka, 1976.
↑ 1 2 Kolchin V. F. Náhodné grafy. — M .: Fizmatlit, 2000.
↑ Kazimirov N. I. Galton-Watsonovy lesy a náhodné substituce . - Dis. na výuční list krok. cand. f.-m.s. - Petrozavodsk, 2003. - 127 s. (nedostupný odkaz)
↑ Pavlov Yu. L. Náhodné lesy. — Utrecht, V.S.P. — 2000.
↑ Pavlov Yu. L., Loseva E. A. Limitní rozdělení maximální velikosti stromu v náhodném rekurzivním lese // Diskrétní matematika. - 2002. - T. 14 , č. 1 . - S. 60-74 .