Reciproční mřížka

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 22. října 2013; kontroly vyžadují 13 úprav .

Reciproká mřížka je trojrozměrná bodová mřížka v abstraktním reciprokém prostoru, kde vzdálenosti mají rozměr reciproké délky. Koncept reciproké mřížky je vhodný pro popis difrakce rentgenových paprsků , neutronů a elektronů na krystalu. Reciproká mřížka (reciproký prostor, momentum space ) je Fourierova transformace přímé krystalové mřížky (přímý prostor).

Definice

Každá krystalová struktura odpovídá dvěma mřížkám: krystalové mřížce a reciproké mřížce. Je možné definovat vektory přímých a reciprokých svazů. Difrakční obrazec je mapou reciproké mřížky krystalu, stejně jako mikroskopický obraz je mapou skutečné struktury krystalu. Krystalové mřížkové vektory mají rozměr délky a rozměr reciprokých mřížkových vektorů je [délka] −1 . Krystalická mřížka je mřížka v běžném reálném prostoru; reciproká mřížka je mříž ve Fourierově prostoru . $\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\mathbf {a_{3}}$ $\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b_{2}} ,\mathbf {b_{3}}$

V krystalografii se reciproká mřížka skládá ze sady vektorů K tak, že

e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1

pro všechny vektory R udávající polohu uzlů krystalové mřížky.

Pro nekonečnou trojrozměrnou mříž charakterizovanou bazickými vektory je její reciproká mříž dána trojicí bazických vektorů reciproké mřížky , vztažena k bazickým vektorům přímé mřížky vztahem a vypočítaná podle vzorců $(\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\mathbf {a_{3}} )$ $(\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b_{2}} ,\mathbf {b_{3}} )$ $\mathbf {a_{j}} \cdot \mathbf {b_{k}} =\mathbf {b_{k}} \cdot \mathbf {a_{j}} =2\pi \delta _{jk} =\left\{{\begin{matrix}2\pi ,&j=k\\0,&j\neq k\end{matrix}}\right.$

{\mathbf {b_{{1}}}}=2\pi {\frac {{\mathbf {a_{{2}}}}\times {\mathbf {a_{{3}}}}}{{\ mathbf {a_{{1}}}}\cdot ({\mathbf {a_{{2}}}}\times {\mathbf {a_{{3}}})}}

{\mathbf {b_{{2}}}}=2\pi {\frac {{\mathbf {a_{{3}}}}\times {\mathbf {a_{{1}}}}}{{\ mathbf {a_{{2}}}}\cdot ({\mathbf {a_{{3}}}}\times {\mathbf {a_{{1}}})}}

{\mathbf {b_{{3}}}}=2\pi {\frac {{\mathbf {a_{{1}}}}\times {\mathbf {a_{{2}}}}}{{\ mathbf {a_{{3}}}}\cdot ({\mathbf {a_{{1}}}}\times {\mathbf {a_{{2}}})}}

Výše uvedená definice se nazývá fyzikální definice, protože faktor 2π přirozeně vzniká studiem periodických struktur. Ekvivalentní krystalografická definice vzniká, pokud se reciproké mřížkové vektory řídí následujícím vztahem , který mění vzorce pro nalezení reciprokých mřížkových vektorů: $e^{2\pi i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1$

\mathbf {b_{1}} ={\frac {\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} }{\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf { a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )}}

a podobně pro ostatní vektory. Krystalografická definice je výhodná v tom, že definuje jako převrácenou stranu směru , bez faktoru 2π . Dokáže zjednodušit některé matematické manipulace a vyjadřuje vzájemné měření mřížky v jednotkách prostorové frekvence. Je otázkou pohodlí, jakou definici reciprokých mřížkových vektorů použít, aniž bychom je samozřejmě míchali. $\mathbf {b_{1}}$ $\mathbf {a_{1}}$ $\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}}$

Jinými slovy, každý systém rovin může být zcela specifikován reciprokým mřížkovým vektorem b , který je kolmý k rovinám a je roven velikosti b = 2 π/d , kde d je mezirovinná vzdálenost. To lze považovat za definici reciprokých mřížkových vektorů.

Krystalografická definice báze ve vektorové algebře se nazývá reciproká báze a používá se k prokázání některých tvrzení souvisejících s úhly mezi vektory a smíšeným součinem [1] :212-214 .

Reciproká mřížka se používá k určení indexů roviny . Jakákoli krystalografická rovina odpovídá množině reciprokých mřížkových vektorů, zatímco expanzní koeficienty nejkratšího vektoru v reciprokých mřížkových jednotkových vektorech jsou indexy roviny.

Poznámky

↑ Gusyatnikov P.B., Rezničenko S.V. Vektorová algebra v příkladech a problémech . - M . : Vyšší škola , 1985. - 232 s.

Zdroje

Sirotin Yu. I., Shaskolskaya MP Základy fyziky krystalů. — M .: Nauka, 1979. — 640 s.