Provozovatelská norma

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 21. listopadu 2020; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Operátorová norma je norma definovaná na ohraničených lineárních operátorech z jednoho normovaného prostoru do druhého. Také se nazývá operátor , podřízená nebo indukovaná norma .

Operátorská norma transformuje lineární prostor samotných operátorů na normovaný prostor. Odpovídající struktura lineárního topologického prostoru operátorů se nazývá normová topologie nebo topologie operátora (bez specifikace ).

Definice a zápis

V následujícím bude K označovat hlavní pole , což je normované pole . Obvykle K = nebo K = . $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Nechť V 1 a V 2 jsou dva normované lineární prostory nad K a T je lineární operátor od V 1 do V 2 . Pokud existuje nezáporné číslo [1] M takové, že

\forall x\in V_{1}:\|Tx\|\leqslant M\|x\|,

pak se operátor T nazývá ohraničený a nejmenší takový možný M se nazývá jeho norma ‖ T ‖ . Jestliže V 1 je konečná -dimenzionální , pak každý operátor je omezený.

Normu operátoru T lze vypočítat podle vzorce [2] :

{\begin{aligned}\|T\|&=\sup\{\|Tx\|:x\in V_{1},\ \|x\|=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Tx\|}{\|x\|}}:x\in V_{1},\ x\neq 0\right\}.\end{aligned}}

Pokud se prostor V 1 skládá z jedné nuly , pak daný vzorec nefunguje, ale ‖ T ‖ = 0 , protože T = 0 .

Lineární prostor omezených operátorů od V 1 do V 2 je označen . V případě, kdy píší místo . Jestliže je Hilbertova mezera , pak někdy píší místo . $L(V_{1},V_{2})$ $V_{1}=V_{2}=V$ $L(V)$ $L(V,V)$ $H$ $B(H)$ $L(H)$

Vlastnosti

Omezení a kontinuita

Lineární operátor mezi normovanými prostory je pak omezen a pouze když je nepřetržitý .

Norma

Na jednom lze představit strukturu vektorového prostoru s operacemi a , kde , , a je libovolný skalár. Operátorová norma dělá z lineárního prostoru omezených operátorů normovaný prostor , to znamená, že splňuje odpovídající axiomy: $L(V_{1},V_{2})$ $(T+S)x=Tx+Sx$ $T(\alpha x)=\alpha (Tx)$ $T,S\in L(V_{1},V_{2})$ $x\in V_{1}$ $\alpha \v K$

$\|T\|\geqslant 0$ (podle definice)
$\|T\|=0$ tehdy a jen tehdy (vyplývá z definice normovaného prostoru) $T=0$
$\|\alpha T\|=|\alpha |\|T\|$ pro všechny $\alpha$ $K$
$\|S+T\|\leqslant \|S\|+\|T\|$ pro všechny omezené operátory a od V 1 do V 2 . $S$ $T$

Submultiplikativita

Jestliže S je operátor od V 2 do V 3 a T je operátor od V 1 do V 2 , pak jejich součin S T je definován jako složení funkcí S ∘ T . Operátorová norma splňuje vlastnost submultiplikativnosti :

\|ST\|\leq \|S\|\|T\|

V případě V 1 = V 2 = V , omezené operátory mohou být násobeny bez opuštění prostoru , a proto operátorová norma transformuje algebru operátora do normované algebry . $L(V)$ $L(V)$

Úplnost

Prostor je Banach právě tehdy, když V 1 je nulový rozměr [3] nebo V 2 je Banach. $L(V_{1},V_{2})$

Jestliže V je Banachův prostor, pak s násobením uvedeným výše je Banachova algebra . $L(V)$

Příklady použití

Mezi konečnorozměrnými prostory

Operátorové normy (pro různé normy na vektory) tvoří důležitou třídu možných norem pro maticové prostory .

O Hilbertových prostorech

Algebra omezených operátorů (na Hilbertově prostoru H ) s operátorovou normou je C*-algebra s involuční operací danou Hermitovou konjugací . Algebra kompaktních operátorů je přitom její uzavřená *-subalgebra a dokonce i její ideální . $L(H)$

Srovnání

Operátorská norma s dalšími normami

Jiné, silnější normy jsou také definovány na operátorech na Hilbertově prostoru, například Hilbert-Schmidtova norma . V nekonečně-rozměrném případě takové normy nejsou definovány (nekonečné) na některých omezených operátorech.

Normovat topologie s ostatními

V konečném-dimenzionálním případě (kdy oba prostory V 1 a V 2 jsou konečné-dimenzionální), to je také konečné-dimenzionální a všechny topologie (a normy) na takovém lineárním prostoru jsou ekvivalentní. Když jsou však oba prostory V 1 a V 2 nekonečně-dimenzionální, jsou možné slabší (hrubší) topologie : $L(V_{1},V_{2})$ $L(V_{1},V_{2})$

Silná topologie operátorů ; název je zavádějící, protože je slabší (hrubší) než běžná topologie.
Topologie slabého operátora ; ještě slabší (drsnější).

Literatura

Murphy J. C*-algebry a teorie operátorů. M.: Faktorial, 1997. 336s. ISBN 5-88688-016-X
Prasolov VV Úlohy a věty lineární algebry. — M .: Nauka, 1996. — 304 s. - ISBN 5-02-014727-3 .

Poznámky

↑ V obecném případě prvek uspořádaného pole , ve kterém normalizace na K nabývá hodnot .
↑ Problémy a věty lineární algebry, 1996 , str. 210.
↑ V tom případě , ale je to kompletní. $L(V_{1},V_{2})=\{0\}$