Ortogonální souřadnicový systém

Křivočaré souřadnice se nazývají ortogonální , ve kterých má metrický tenzor diagonální tvar.

{\displaystyle ds^{2}=\sum _{k=1}^{n}\left(h_{k}dq^{k}\right)^{2))

kde je rozměr prostoru. skalární faktor $n$

h_{k}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{kk}(\mathbf {q} )}}=|\ mathbf {e} _{k}|

se rovná druhé odmocnině diagonálních složek metrického tenzoru nebo délce vektoru místní báze . ${\displaystyle \mathbf {e} _{k))$

V ortogonálních souřadnicových systémech jsou souřadnicové plochy navzájem ortogonální . Zejména v kartézském souřadnicovém systému jsou souřadnicové osy a jsou navzájem ortogonální . $\mathbf {q} =(q^{1},q^{1},\ldots ,q^{n})$ $Vůl$ $Oj$ $Oz$

Volba toho či onoho systému ortogonálních souřadnic je určena symetrií systému. Například při řešení problému šíření elektromagnetické vlny z bodového zdroje je výhodné použít sférický souřadnicový systém ; při řešení problému kmitání membrány je výhodnější válcový souřadnicový systém .

Matematické transformace

Základní vektory

V ortogonálních systémech je bodový součin základních vektorů:

$\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\left\{{\begin{matrix}0,&i\neq j{;}\\\vert \mathbf { e} _{i}\vert ^{2},&i=j{.}\end{matrix}}\right.$

Ve většině případů se používají normalizované základní vektory, pro které . $\mathbf {e} _{i}^{\left(n\right)}={\frac {\mathbf {e} _{i)){\left|\mathbf {e} _{i} \right|}}$

Pro normalizované základní vektory , kde je symbol Kronecker . ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij))$ ${\displaystyle \delta _{ij))$

Bodový produkt

Skalární součin vektorů v ortogonálních systémech se vypočítá podle vzorce:

\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{k=1}^{n}h_{k}^{2}x^{k}y^{k}=\sum _ {k=1}^{n}{\frac {x_{k}y_{k}}{h_{k}^{2}}}=\sum _{k=1}^{n}x^{k }y_{k}=\součet _{k=1}^{n}x_{k}y^{k}