Parakompaktní prostor

Parakompaktní prostor je topologický prostor , ve kterém může být jakýkoli otevřený kryt vepsán lokálně konečným otevřeným krytem.

Současně: rodina množin ležících v topologickém prostoru se nazývá lokálně konečná , pokud má každý bod okolí , které protíná pouze konečnou množinu prvků rodiny ; rodina množin je zapsána do rodiny množin, pokud je každý prvek rodiny obsažen v některém prvku rodiny .) ${\mathcal {U}}$ $X$ $X$ $x\in X$ $X$ ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal V}$ ${\mathcal {U}}$ ${\mathcal V}$

Parakompaktní prostor se nazývá parakompaktní Hausdorffův prostor . Parakompaktnost je jedním z počátečních požadavků v teorii rozmanitosti .

Každý Hausdorffův parakompaktní prostor je normální . To nám umožňuje konstruovat oddíly jednoty na parakompaktních prostorech s libovolně daným otevřeným krytem.

Vlastnosti

Za přítomnosti parakompaktnosti jsou některé lokální vlastnosti prostoru syntetizovány a implementovány globálně. Zejména,
- pokud je parakompaktní prostor lokálně metrizovatelný, pak je metrizovatelný ;
- pokud je Hausdorffův prostor lokálně Cech complete a paracompact, pak je Cech complete .
Parakompaktnost nedědí libovolné podprostory, ale každý uzavřený podprostor parakompaktního prostoru je parakompaktním prostorem.
Součin dvou parakompaktních prostorů nemusí být parakompaktní prostor.
Ve třídě Hausdorffových prostor
- Inverzní obraz parakompaktního prostoru pod dokonalým mapováním je parakompaktní prostor,
- Obraz parakompaktního prostoru pod souvislým uzavřeným mapováním je parakompaktní prostor.
Mezi parakompaktní prostory patří zejména Lindelöfovy prostory . Pro prostor všech spojitých reálných funkcí na libovolném Tichonovově prostoru vybaveném topologií bodové konvergence je parakompaktnost ekvivalentní Lindolöfovi.
Pokud je Banachův prostor ve slabé topologii topologicky generován nějakou kompaktní množinou, která v něm leží, pak je parakompaktní.
Všechny metrizovatelné prostory jsou parakompaktní (Stoneova věta).
- Parakompaktní prostor je metrizovatelný tehdy a jen tehdy, má-li základnu počitatelného řádu, to znamená základnu, jejíž jakákoli klesající posloupnost prvků obsahující libovolný bod nutně tvoří základnu v tomto bodě. $x\in X$
Všechny kompakty jsou parakompaktní, ale
- Ale ne každý lokálně kompaktní Hausdorffův prostor je parakompaktní.

Související definice

Počitatelně parakompaktní prostor je topologický prostor, ve kterém může být jakýkoli spočetný otevřený kryt vepsán lokálně konečným otevřeným krytem.

Slabě parakompaktní prostor (metakompaktní, bodově parakompaktní) je topologický prostor, do kterého může být libovolný otevřený kryt vepsán bodově konečným otevřeným krytem.

Silně parakompaktní (hypokompaktní) prostor je topologický prostor, ve kterém může být jakýkoli otevřený kryt vepsán hvězdicově konečným otevřeným krytem.

Subparakompaktní prostor (F σ -prosetý) je topologický prostor, ve kterém může být libovolný otevřený kryt vepsán uzavřeným σ-lokálně konečným krytem.

Literatura

Engelking, R. Obecná topologie. — M .: Mir , 1986. — 752 s.