První a druhá Ljapunovova metoda

Všechny metody pro studium stability, které vyvinul A. M. Ljapunov v [1] , jsou jím rozděleny do dvou metod (dvě kategorie).

První metoda zahrnuje všechny metody studia stability, „které vedou k přímému studiu narušeného pohybu a které jsou založeny na hledání obecných nebo partikulárních řešení diferenciálních rovnic. Obecně bude třeba tato řešení hledat pod rouškou nekonečných řad. . . To je podstatou řady uspořádané v kladných celých mocninách libovolných konstant. Dále se ale setkáme i s některými řadami jiného charakteru“ [1] . Někdy se metoda linearizace nazývá také první Ljapunovova metoda. Avšak není tomu tak: teorémy o asymptotické stabilitě a nestabilitě v první aproximaci lze dokázat aplikací metod studia první i druhé Ljapunovovy metody. A. M. Ljapunov označuje druhou metodou všechny metody studia stability, které jsou založeny na hledání funkcí proměnných u, t „podle nějakých daných podmínek, které musí splňovat jejich celkové derivace vzhledem k t, sestavené za předpokladu, že“ u = u(t ) je funkce, která splňuje rovnici

ẋ = F(x, t). (jeden)

Druhá Ljapunovova metoda se často nazývá přímá metoda. Je třeba poznamenat, že před Ljapunovem byly metody pro studium stability související s první i druhou metodou použity ve speciálních případech A. Poincaré v [2] . Jak poznamenal sám A. M. Ljapunov ve své disertační práci [1] : „Přestože se Poincare omezuje na velmi speciální případy, metody, které používá, umožňují mnohem obecnější aplikace a mohou vést k mnoha dalším novým výsledkům. Při většině svých výzkumů jsem se řídil myšlenkami obsaženými ve jmenovaných memoárech [2] .

Ljapunovova první metoda mu umožnila získat řadu velmi hlubokých a důležitých výsledků. Jako příklad si všimneme teorie podmíněné stability, kterou vypracoval ve své práci na základě první metody [1] . Jednou z výhod této metody je, že funguje v těch nejjemnějších případech a umožňuje nejen naznačit kvalitativní obraz zkoumaného jevu, ale také sestavit explicitní podobu zkoumaných řešení. Ljapunov zakládá svou druhou metodu na několika základních teorémech, které stanovil. Tyto věty se ukázaly být natolik účinné, že s jejich pomocí bylo možné mimořádně jednoduchým způsobem vyřešit problém stability v první aproximaci. Zároveň umožnili Ljapunovovi zvážit některé základní kritické případy, kdy první přiblížení neřeší problém stability. V současné době je ze dvou metod nejpoužívanější přímá Ljapunovova metoda pro svou jednoduchost a účinnost.

Věty o stabilitě přímé (druhé) Ljapunovovy metody

Uvádíme zde věty o stabilitě nulového řešení perturbovaného systému v prostoru ve speciálním případě, kdy je autonomní, to znamená, že má tvar:

. (2)

Předpokládá se, že , takže to je řešení této rovnice. K tomuto problému dospějeme studiem stability rovnováhy autonomního systému

. (3)

Pro libovolnou spojitě diferencovatelnou funkci V(u) definovanou v nějakém okolí D bodu 0 ꞓ R n definujeme V derivaci funkce V(u) diferenciální rovnicí (2), nastavením

. (čtyři)

Je-li u(t) libovolné řešení rovnice (2), pak vzorec

. (5)

což potvrzuje účelnost definice (4).

Funkce V(u) se v D nazývá znaménko-pozitivní, pokud V(0) = 0, V(u) ≥ 0 pro všechny az její oblasti D (D je nějaké okolí nuly v R n ). Funkce V(u) se nazývá rozhodně kladná (nebo kladně definitní), pokud má kladné znaménko u, navíc V(u) > 0 pro jakékoli u ꞓ D odlišné od 0.

Znaménko-negativní a rozhodně negativní funkce jsou definovány podobně.

O funkci V se říká, že má konstantní znaménko, pokud má kladné nebo záporné znaménko. Funkce V se nazývá znaménkově definitní, pokud je pozitivně definitní nebo záporně definitní. Pokud funkce V nabývá kladných i záporných hodnot v doméně D, pak se v tomto případě V nazývá alternující funkce.

Věty 1-4 níže předpokládají, že V(u) je spojitě diferencovatelná funkce definovaná v nějakém okolí D bodu 0 ꞓ R n ; používá se označení V'(u), což je derivace funkce V(u) na základě diferenciální rovnice (2).

Pokud existuje jednoznačně kladná funkce V(u), jejíž derivace V'(u) má záporné znaménko, pak u 0 (t) je stabilní řešení rovnice (2). Nechť existuje určitě kladná funkce V(u), jejíž derivace V'(u) je rozhodně záporná funkce. Pak u 0 (t) je asymptoticky stabilní řešení rovnice (2).

Pokud existuje kladně definitní funkce V(u) taková, že V'(u) < 0 mimo M a V'(u) ≤ 0 na M, kde M je množina neobsahující žádné celé trajektorie rovnice (2) kromě nulový bod, pak je nulové řešení u 0 (t) z rovnice (2) asymptoticky stabilní.

Funkce V(u) se nazývá nekonečně velká, jestliže pro libovolné kladné číslo K > 0 existuje R > 0 takové, že |u| > R z toho vyplývá, že |V(u)| >K.

Věta 4 (o asymptotické stabilitě obecně [3] ). Existuje-li určitě kladná nekonečně velká funkce V(u), jejíž derivace V'(u) je rozhodně zápornou funkcí v celém prostoru, pak je nulové řešení u 0 (t) rovnice (2) globálně asymptoticky stabilní. Funkce, které splňují věty 1-2 přímé Ljapunovovy metody, se nazývají Ljapunovovy funkce. Existence vhodné Ljapunovovy funkce je postačující podmínkou stability nebo asymptotické stability řešení.

Poznámky

  1. ↑ 1 2 3 4 Ljapunov A. M. Obecný problém stability pohybu. — M.: Gostekhizdat, 1950.
  2. ↑ 1 2 Poincare A. Na křivkách definovaných diferenciálními rovnicemi. M.: Gostekhizdat, 1947
  3. ↑ 1 2 Barbashin E. A. Úvod do teorie stability. - M., 1967.
  4. ↑ Krasovský N. N. Některé problémy teorie stability pohybu. — M.: Gostekhizdat, 1959.

Literatura