Mandelstamovy proměnné

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 9. července 2019; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Mandelshtamovy proměnné jsou tři skalární relativistické invariantní veličiny , které jsou zachovány v procesu rozptylu dvou elementárních částic se vznikem dvou nových nebo zachování dvou starých elementárních částic nebo v procesu rozpadu jedné elementární částice na tři. Obvykle se označuje jako . Zavedl je americký fyzik Stanley Mandelstam (1928-2016) v roce 1958 [1] . Proces rozptylu lze plně popsat zadáním hodnot pouze dvou Mandelstamových proměnných. Každá z nich se rovná druhé mocnině celkové energie některého páru částic v souřadnicovém systému, ve kterém je jejich střed v klidu. [2] $s,t,u$

Definice

Uvažujme proces rozptylu dvou elementárních částic s vektory energie-hybnosti a vznik po interakci dvou nových nebo zachování dvou starých elementárních částic s vektory energie-hybnosti . Vztah mezi energií a hmotností je: ${\displaystyle p_{1},p_{2))$ ${\displaystyle p_{3},p_{4))$

p_{i}^{2}=g_{\mu \nu }p_{i}^{\mu }p_{i}^{\nu }=m_{i}^{2}c^{2 }.

V časoprostoru s metrikou mají podobu $\mathrm {diag} (1,-1,-1,-1)$

m_{i}^{2}c^{4}=E_{i}^{2}-p_{i}^{2}c^{2},

nebo v relativistických jednotkách $(c=1)$

m_{i}^{2}=E_{i}^{2}-p_{i}^{2}.

Zde je index elementární částice. Zachování každé složky vektoru energie-hybnost je vyjádřeno rovnicí: $i=1,2,3,4$

p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4}.

Z této rovnice lze odvodit tři Mandelstamovy proměnné v relativistických jednotkách : $(c=1)$

${\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}=(p_{3}+p_{4})^{2))$
${\displaystyle t=(p_{1}-p_{3})^{2}=(p_{2}-p_{4})^{2))$
${\displaystyle u=(p_{1}-p_{4})^{2}=(p_{2}-p_{3})^{2))$

Vlastnosti

Mandelstamovy proměnné spolu souvisí vztahem:

s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}.

Závěr

Pro odvození používáme dva vztahy:

Druhé mocniny čtyř pulzů se rovnají čtvercům hmot:

{\displaystyle p_{i}^{2}=m_{i}^{2))

Uložení čtyř pulzů:

{\displaystyle p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4))

{\displaystyle p_{1}=-p_{2}+p_{3}+p_{4))

Takto:

{\displaystyle s=(p_{1}+p_{2})^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2))

{\displaystyle t=(p_{1}-p_{3})^{2}=p_{1}^{2}+p_{3}^{2}-2p_{1}\cdot p_{3))

{\displaystyle u=(p_{1}-p_{4})^{2}=p_{1}^{2}+p_{4}^{2}-2p_{1}\cdot p_{4))

Sečtením a dosazením druhých mocnin hmotností dostaneme:

s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2}+2p_{1}^ {2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}

Všimli jsme si, že poslední čtyři termíny zmizí kvůli zachování čtyř hybnosti:

2p_{1}^{2}+2p_{1}\cdot p_{2}-2p_{1}\cdot p_{3}-2p_{1}\cdot p_{4}=2p_{1}\ cdot (p_{1}+p_{2}-p_{3}-p_{4})=0

Takto:

{\displaystyle s+t+u=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2}+m_{4}^{2))

Poznámky

↑ Mandelstam, S. Určení amplitudy rozptylu pion-nukleon z disperzních vztahů a unitarity // Physical Review : journal . - 1958. - Sv. 112 , č. 4 . - str. 1344 . - doi : 10.1103/PhysRev.112.1344 . - . Archivováno 28. května 2000.
↑ Ziman, 1971 , str. 226.

Literatura

Ziman J. Moderní kvantová teorie. - M .: Mir, 1971. - 288 s.