Průsečík mnoha

Průnik množin v teorii množin je množina , do které patří ty a jen ty prvky , které současně patří do všech daných množin. Průsečík dvou množin a je obvykle označen , ale ve vzácných případech může být označen [1] . $A$ $B$ $A\cap B$ $AB$

Definice

Průnik dvou množin

Nechte soubory a být dán . Pak se jejich průsečík nazývá množina $A$ $B$

A\cap B=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}.

Průnik rodiny množin

Nechť je dána rodina množin . Pak jejím průsečíkem je množina sestávající z prvků, které jsou zahrnuty ve všech množinách rodiny: $\{M_{\alpha }\}_{\alpha \in A}.$

\bigcap \limits _{\alpha \in A}M_{\alpha }=\{x\mid \forall \alpha \in A,\;x\in M_{\alpha }\}.

Vlastnosti

Průnik množin je binární operace na libovolném booleovském parametru ; $2^{X}$
Operace průniku množin je komutativní $A\cap B=B\cap A;$
Nastavená operace křižovatky je asociativní : $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C);$
Nastavená operace průniku je distributivní s ohledem na operaci sjednocení : [2] $\left(\bigcup _{k}A_{k}\right)\cap B=\bigcup _{k}\left(A_{k}\cap B\right)$
Univerzální množina je neutrálním prvkem operace křižovatky množin: $U$ $A\cap U=A;$
Nastavená operace křižovatky je idempotentní : $A\cap A=A;$
Pokud je prázdná množina , pak $\varno nic$ $A\cap \varnothing =\varnothing .$

Příklad

Nechte ,. _ Pak ${\displaystyle A=\{1,\;2,\;3,\;4\))$ ${\displaystyle B=\{3,\;4,\;5,\;6,\;7\))$

A\cap B=\{3,\;4\}.

Poznámky

↑ Matematika, její obsah, metody a význam . - Ripol Classic, 2013. - S. 7. - 337 s.
↑ V. A. Iljin , V. A. Sadovničij , Bl. H. Sendov . Kapitola 2. Reálná čísla // Matematická analýza / Ed. A. N. Tichonova . - 3. vyd. , revidováno a doplňkové - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 66. - 672 s. — ISBN 5-482-00445-7 .

Viz také

Operace na soupravách