Periodogram

Periodogram  je odhad výkonové spektrální hustoty (PSD) založený na výpočtu kvadrátu modulu Fourierovy transformace datové sekvence. Pokud se při výpočtu PSD použije váhová funkce ( okno ), pak se získaný odhad PSD nazývá modifikovaný periodogram [1] . Periodogram není konzistentním odhadem PSD, protože rozptyl takového odhadu je srovnatelný s druhou mocninou jeho matematického očekávání. Jak se zvyšuje počet použitých počtů, hodnoty periodogramu začnou kolísat rychleji a rychleji.

Matematický popis

V literatuře existuje několik definic pojmu periodogram. Jeden z nich souvisí se zprůměrováním kvadrátu modulu Fourierovy transformace na určitém vzorku měření [2] :

kde  je amplituda Fourierovy transformace funkce na konečném časovém intervalu,  je interval konečnosti,  je operátor statistického průměrování ( očekávání ).

V anglicky psané literatuře [3] a v populárních softwarových implementacích [4] [5] je však zpravidla jednoduše druhou mocninou amplitudového modulu Fourierovy transformace. Časové průměrování v takových klasifikacích je přiřazeno metodám Bartletta a Welche [6] .

Historické informace

Termín periodogram poprvé zmínil Arthur Schuster v roce 1898 [8] . Schuster použil periodogram k nalezení periodicity v záznamech meteorologických pozorování , záznamech magnetické deklinace a řadě čísel slunečních skvrn . Provedl předběžné zpracování měsíčních průměrných čísel slunečních skvrn od roku 1749 do roku 1894. Analýza periodogramu umožnila odhadnout cyklus slunečních skvrn na 11,125 let. Schuster poukázal na četné obtíže spojené s výpočtem periodogramu a jeho charakteristických rysů. Změnou původu času získal periodogramy s různými nepravidelnými změnami a tyto periodogramy někdy obsahovaly falešné vrcholy (Schuster je nazýval „náhodné periodicity“), kde ve skutečnosti žádná periodicita neexistovala. Schuster ze svých zkušeností s harmonickou analýzou optických spekter věděl , že zprůměrování hodnot získaných pro různé segmenty datové sekvence je nezbytné pro vyhlazení periodogramu (získání „průměrného periodogramu“ v jeho terminologii) a odstranění falešných vrcholů. A přestože Schuster stanovil potřebu průměrování, jeho praktická implementace vyžadovala výpočetní nástroje daleko za technickými možnostmi dostupnými v té době. Schuster také rozpoznal, že postranní laloky (které nazval „falešné periodicity“) kolem hlavních laloků v periodogramu jsou nedílnou součástí jakékoli metody Fourierovy analýzy datových záznamů konečné délky.

Mnoho badatelů z počátku minulého století se domnívalo, že periodogramy vypočítané ze zašuměných dat budou mít významné chyby a nebudou obsahovat vůbec žádné dominantní vrcholy, které by mohly naznačovat přítomnost periodicity v analyzovaných datech. Navíc to bylo považováno za spravedlivé, i když se délka záznamu dat výrazně zvýšila. Příklady takových periodogramů jsou uvedeny na obrázku, který ukazuje, že s používáním dalších a dalších vzorků dat začíná periodogram stále více kolísat. To vše vedlo k tomu, že na několik desetiletí zájem o periodogramy výrazně slábl, což lze vysvětlit především tím, že většina badatelů zanedbala Schusterem navrhované průměrování. Slutsky a o něco později Daniell nezávisle zjistili, že kolísání periodogramu bílého šumu má stejnou velikost jako střední hodnota samotného periodogramu. Ukázalo se, že tyto fluktuace jsou většinou nekorelované pro sousední frekvence. Slutsky a Daniell navrhli, že kolísání periodogramu lze snížit jeho zprůměrováním přes sousední frekvence. Tato myšlenka je základem jedné z metod vyhlazování periodogramu.

Viz také

Literatura

Odkazy

  1. ↑ Hayes, 2009 , str. 408-412.
  2. ↑ Marple Jr. S. L., 1990 , str. 190.
  3. ↑ Hayes, 2009 , str. 394.
  4. ↑ scipy.signal.periodogram . Získáno 5. srpna 2019. Archivováno z originálu dne 5. srpna 2019.
  5. ↑ periodogram (MathWorks) . Získáno 5. srpna 2019. Archivováno z originálu dne 5. srpna 2019.
  6. ↑ scipy.signal.welch . Získáno 5. srpna 2019. Archivováno z originálu dne 5. srpna 2019.
  7. ↑ Marple Jr. S. L., 1990 , str. 22.
  8. ↑ Schuster, A., "O zkoumání skrytých periodicit s aplikací na předpokládané 26denní období meteorologických jevů," Terrestrial Magnetism and Atmospheric Electricity , 3, 13-41, 1898.