Povrch Darboux

Darbouxova plocha je dvourozměrná plocha F 2 v trojrozměrném euklidovském prostoru E 3 , na kterém je definován Darbouxův tenzor a je shodně roven nule .

Darbouxův tenzor je trojnásobný kovariantní symetrický tenzor třetího řádu, definovaný na ploše F 2 s nenulovou Gaussovou křivostí K v E 3 .

Složky Darbouxova tenzoru se vypočítají podle vzorců: $\Theta$

\Theta _{ijm}=\nabla _{m}b_{ij}-{\frac {b_{ij}\nabla _{m}K+b_{mi}\nabla _{j}K+b_ {jm}\nabla _{i}K}{4K}},\quad i,j,m=1,2,

kde jsou koeficienty druhé kvadratické formy, K je Gaussova křivost a a jsou jejich kovariantní deriváty. ${\displaystyle b_{ij))$ ${\displaystyle \nabla _{m}b_{ij))$ $\nabla _{m}K$

G. Darboux [1] jako první přišel k tomuto tenzoru ve speciálních souřadnicích .

Zánik Darbouxova tenzoru charakterizuje Darbouxovy povrchy v E 3 — dvourozměrné povrchy druhého řádu, které se nerozpínají do roviny [2] .

Další důležitá vlastnost Darbouxových ploch souvisí s teorií nekonečně malých ohybů ploch. Darbouxovy plochy kladné Gaussovy křivosti K>0 v E 3 se tedy vyznačují tou vlastností, že soustava rovnic infinitezimálních ohybů na nich a pouze na nich je redukována na soustavu Cauchy-Riemannových rovnic [3] .

Přirozeným zobecněním Darbouxových povrchů jsou n-rozměrné podvariety s cyklicky se opakujícím druhým základním tvarem v (n+p)-rozměrných prostorech konstantní křivosti [4] .

Libovolná cyklicky rekurentní plocha F 2 s nenulovou Gaussovou křivostí K v trojrozměrném euklidovském prostoru E 3 je lokálně Darbouxova plocha [5] .

Bonnetova věta. Na Darbouxově povrchu v trojrozměrném euklidovském prostoru podél každé čáry zakřivení je odpovídající hlavní zakřivení úměrné třetí mocnině druhého hlavního zakřivení [6] .

Poznámky

↑ Darbouch, G. "Býk. sci. matematika.", 1880, seř. 2, t. 4. R. 348-384.
↑ Kagan, V.F. Základy teorie povrchů v tensorové prezentaci, část 2, Moskva-Leningrad: OGIZ, 1948, s. 210-233.
↑ Vekua, I. N. Zobecněné analytické funkce. M.: Nauka, 1988. S. 326-330.
↑ Bodrenko, I. I. Zobecněné Darbouxovy plochy v prostorech konstantní křivosti. Saarbrücken, Německo: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013, s. 119-130. ISBN 978-3-659-38863-7 .
↑ Bodrenko, I. I. Zobecněné Darbouxovy plochy v prostorech konstantní křivosti. C. 119-130.
↑ Kagan, V.F. Základy teorie povrchů v prezentaci tenzorů, část 2, Moskva-Leningrad: OGIZ, 1948.