Podkategorie
V matematice je podkategorií kategorie C kategorie S , jejíž objekty jsou také objekty C a jejichž morfismy jsou také morfismy v C , se stejnými morfismy identity a pravidly kompozice. Intuitivně se podkategorie S získá z C odstraněním některých objektů a morfismů.
Formální definice
Nechť C je kategorie. Podkategorie S kategorie C je definována
- podtřída objektů C , označená ob( S ),
- podtřída morfismů C , označovaná hom( S ).
tak, aby byly splněny následující podmínky:
- pro každé X v ob( S ) patří morfismus identity id X k hom( S ),
- pro každý morfismus f : X → Y na hom( S ), jeho předobraz X a obraz Y leží v ob( S ),
- pro každou dvojici morfismů f , g v hom( S ) leží složení f o g v hom( S ), pokud je definováno v C .
Z těchto podmínek vyplývá, že S je kategorií sama o sobě. Existuje zřejmý striktní funktor I : S → C nazývaný funktor vkládání .
Podkategorie S se nazývá úplná podkategorie C , pokud pro každý pár objektů X , Y v S
Typy podkategorií
Podkategorie S kategorie C se nazývá izomorfismus uzavřený , jestliže jakýkoli izomorfismus k : X → Y v C takový, že Y patří do S , patří také do S. Kompletní podkategorie uzavřená pod izomorfismem se nazývá přísně úplná podkategorie .
Podkategorie C je široká , pokud obsahuje všechny objekty C. Konkrétně jedinou širokou kompletní podkategorií kategorie C je samotná C .
Viz také
Literatura
- S. McLane Kategorie pro pracujícího matematika, - M . : FIZMATLIT, 2004. - 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .