Podkruh prstenu je pár , kde je prstenec a je monomorfismus ( vložení ) prstenů. Taková definice je v souladu s obecným pojmem dílčího objektu v teorii kategorií .
V klasické definici je podkruh kruhu považován za podmnožinu uzavřenou pod operacemi az hlavního kruhu. Tato definice je ekvivalentní té výše, ale moderní definice zdůrazňuje vnitřní strukturu dílčích prstenců a spojení mezi různými prstenci. Lze jej také snadno zobecnit na případ libovolných matematických objektů (algebraických, geometrických atd.). Rozdíl mezi definicemi je analogický s rozdílem mezi množinově teoretickým a kategoriím teoretickým pohledem na matematiku.
Zejména různé definice kruhu dávají dva základní smysluplné koncepty podkruhu. V kategorii (všech) kruhů lze podkruh, stejně jako v klasické definici, považovat za libovolnou podmnožinu kruhu, která je uzavřena sčítáním a násobením. Zajímavější situace je v kategorii jednotkových kruhů : morfismy (homomorfismy) v této kategorii musí mapovat identitu kruhu k identitě kruhu (podobně jako homomorfismus pologrup s jednotkou ), takže podkruh kruhu musí také obsahovat identitu: .
Kategorie je mnohem lépe organizovaná než kategorie . Předmětem této kategorie je například také jádro jakéhokoli homomorfismu. Z tohoto důvodu, když se mluví o podkruhu, obvykle znamená podkruh v , pokud není uvedeno jinak.
Příklady