Krylov podprostor

V lineární algebře je Krylov podprostor dimenze generovaný vektorem a maticí lineárním prostorem $m$ $v\in {\mathbb {C}}^{n}$ $A\in {\mathbb {C}}^{{n\times n}}$

${\mathcal {K}}_{m}(v,A)=\název operátora {span}\{v,Av,A^{2}v,...,A^{{m-1}}v\ }.$

Krylovův podprostor je podprostorem vektorového prostoru nad polem komplexních čísel : ${\mathcal {K}}_{m}\subset \mathbb {C} ^{n}.$

Takové prostory byly pojmenovány po ruském aplikovaném matematikovi a námořním inženýrovi A. N. Krylovovi , který v roce 1931 publikoval článek o problému.

Dimenze Krylovova podprostoru

Vzhledem ke konečné dimenzionalitě prostoru existuje taková , že vektory jsou lineárně nezávislé a existuje lineární kombinace těchto vektorů s koeficienty $\mathbb{C}^{n}$ $p\;(0\leq p\leq n),$ $v,\;Av,\;A^{2}v,\;...,\;A^{p-1}v$ $A^{p}v$ $\gamma _{1},\;\gamma _{2},\;...,\;\gamma _{p}:$

$A^{p}v=-\gamma _{1}A^{p-1}v-\gamma _{2}A^{p-2}v-...-\gamma _{p }proti$

Složíme polynom a dostaneme: $\varphi (\lambda )=\lambda ^{p}+\gamma _{1}\lambda ^{{p-1}}+\gamma _{2}\lambda ^{{p-2}}+.. .+\gamma _{p}$

$\varphi (A)v=0.$

Stupňový polynom je minimální polynom vektoru v vzhledem k matici A . $\varphi (A)$ $p$

Vlastnosti Krylovova podprostoru

1. invariantní vzhledem k a pro jakékoli

{\mathcal {K}}_{p}

A

{\mathcal {K}}_{m}={\mathcal {K}}_{p}

m\geq p.

dim({\mathcal {K}}_{m})=\min\{m,p\}.

Metody Krylovského typu

Algoritmy využívající Krylovovy podprostory se tradičně nazývají metody Krylovova typu. Patří mezi nejúspěšnější metody, které jsou v současné době k dispozici v numerické lineární algebře.

Moderní iterační metody pro hledání vlastních čísel a metody řešení SLAE, zaměřené na matice velkých rozměrů, vyhýbají se operacím matice-matice a častěji násobí matici vektory a pracují s výslednými vektory:

${\mathcal {K}}_{m}(v,A)=\název operátora {span}\{v_{1},v_{2},v_{3},...,v_{m}\},$

kde

$v_{1}=v,\;v_{2}=Av_{1},\;v_{3}=Av_{2},\;...,\;v_{m}=Av_{{m-1 }}$ .

Nejznámější Krylovovy podprostorové metody jsou Arnoldiho metoda , Lanczosova metoda , metoda konjugovaného gradientu , GMRES , BiCG , BiCGSTAB , QMR , TFQMR a MinRES .

Viz také

Krylovova metoda hledání charakteristického polynomu matice .
Projekční metody pro řešení SLAE
Lanczosova biortogonalizace
Knihovna iterativních šablon

Literatura

Krylov A.N. Na numerické řešení rovnice, která určuje frekvence malých kmitů hmotných soustav v technických záležitostech. . - 1931. - S. 26 .
Saad Y. Iterační metody pro řídké lineární systémy . — 2. vydání. - SIAM Society for Industrial & Applied Mathematics, 2003. - S. 477 . — ISBN 0898715342 .
Gantmakher F.R. Teorie matice . — 2. vydání. - M .: Nauka, 1966. - S. 576. - ISBN 5-9221-0524-8 .
Balandin M. Yu., Shurina EP Metody řešení vysokorozměrných SLAE. - Novosibirsk: NSTU, 2000. - S. 70.