Bruhatův řád

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 10. listopadu 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Řád Bruchat (neboli přísný řád , přísný řád Bruchat , řád Chevalley , řád Bruchat–Chevalley , řád Chevalley–Bruchat ) je částečný řád na prvcích skupiny Coxeter , který odpovídá pořadí zařazení na odrůdách Schubert .

Historie

Bruchatův řád na Schubertových vlajkových varietách odrůdy nebo Grassmannianu byl poprvé studován Ehresmannem [1] , zatímco analogie pro obecnější polojednoduché algebraické grupy studoval Chevalley [2] . Verma [3] zahájil kombinatorickou studii řádu Bruchat na skupině Weil a zavedl název „řád Bruchat“ kvůli souvislosti s rozkladem Bruchat .

Björner [4] studoval levé a pravé slabé Bruchatovo uspořádání .

Definice

Jestliže ( W , S ) je Coxeterův systém s generátory S , pak Bruchatův řád je částečným řádem na skupině W. Připomeňme, že redukované slovo pro prvek w skupiny W je výraz o minimální délce sestávající z prvků S a délka l ( w ) prvku w je délkou redukovaného slova.

V (přísném) Bruhatově řádu je u ≤ v , jestliže nějaký podřetězec nějakého (nebo jakéhokoli) redukovaného slova pro v je redukovaným slovem pro u .

(Všimněte si, že podřetězec zde neznamená sekvenční uspořádání prvků.)

Se slabým levým řádem (Bruhata) u ≤ L v , jestliže nějaký konečný podřetězec (tj. podřetězec, kterým končí v) nějakého redukovaného slova pro v je redukovaným slovem pro u .
Ve slabém pravém pořadí (Bruhata), u ≤ R v , jestliže nějaký počáteční podřetězec (tj. podřetězec, kterým začíná slovo v ) nějakého redukovaného slova pro v je redukovaným slovem pro u .

Další informace o slabých řádech naleznete v článku "Slabé pořadí permutací" .

hrabě Bruhata

Bruchatův graf je orientovaný graf spojený s přísným Bruchatovým řádem. Vrcholovou množinou grafu jsou prvky Coxeterovy grupy a hranovou množinu tvoří orientované hrany ( u , v ), pro které u = t v pro nějaký odraz t a l ( u ) < l ( v ). Můžeme si představit graf jako orientovaný graf s označenými okraji, kde jsou popisky definovány odrazy. (Můžete definovat Bruchatův graf se správným násobením t . Jako graf dostaneme izomorfní objekt, ale popisky hran se budou lišit.)

Silný Bruchatův řád na symetrické (permutační) grupě má Möbiovu funkci danou rovností , v tomto případě je poset Euler, což znamená, že Möbiova funkce je dána hodnostní funkcí na posetu. ${\displaystyle \mu (\pi ,\sigma )=(-1)^{\ell (\sigma )-\ell (\pi )))$

Literatura

Anders Björner. Uspořádání Coxeterových skupin // Kombinatorika a algebra (Boulder, Colo., 1983) / Curtis Greene. - Providence, RI: American Mathematical Society , 1984. - V. 34. - S. 175-195. - (Contemp. Math.). — ISBN 978-0-8218-5029-9 .
Anders Björner, Francesco Brenti. Kombinatorika Coxeterových skupin. - Berlín, New York: Springer-Verlag , 2005. - Vol. 231. - (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-3-540-44238-7 . - doi : 10.1007/3-540-27596-7 .
C. Chevalley. Sur les décompositions cellulaires des espaces G/B // Algebraické grupy a jejich zobecnění: klasické metody (University Park, PA, 1991) / William J. Haboush, Brian J. Parshall. - Providence, RI: American Mathematical Society , 1958. - V. 56. - S. 1-23. - (Proc. Sympos. Čistá matematika.). - ISBN 978-0-8218-1540-3 .
Charles Ehresmann. Sur la Topologie de Certains Espaces Homogènes (Fr) // Annals of Mathematics . - Annals of Mathematics, 1934. - V. 35 , no. 2 . — S. 396–443 . — ISSN 0003-486X . - doi : 10.2307/1968440 . — .
Daya-Nand Verma. Struktura určitých indukovaných reprezentací komplexních polojednoduchých Lieových algeber // Bulletin Americké matematické společnosti . - 1968. - T. 74 . — S. 160–166 . — ISSN 0002-9904 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1968-11921-4 .