Prvotní jednoduchý

V teorii čísel je prvotní prvočíslo prvočíslo ve tvaru p n # ± 1, kde p n # je prvočíslo p n (tj. součin prvních n prvočísel). Čísla ve tvaru p n # + 1 (ne nutně prvočísla) se nazývají euklidovská čísla.

Ukazují to testy jednoduchosti

p n # − 1 je prvočíslo pro n = 2, 3, 5, 6, 13, 24, … sekvence A057704 v OEIS p n # + 1 je prvočíslo pro n = 1, 2, 3, 4, 5, 11, … sekvence A014545 v OEIS

Několik prvních prvočísel

3 , 5 , 7 , 29 , 31 , 211 , 2309, 2311, 30029 , 200560490131 , 304250263527209

Několik prvních euklidovských čísel

3 , 7 , 31 , 211 , 2311, 30031 , 510511 sekvence A006862 v OEIS .

V září 2022 bylo největší známé primární prvočíslo ve tvaru „pn# − 1“ 3267113# – 1 se 1418398 číslicemi, toto číslo bylo nalezeno v projektu distribuovaných počítačů PrimeGrid v roce 2021, což je maximální známé primární prvočíslo ve tvaru „pn # + 1" je číslo 392113# + 1 s 169966 číslicemi, bylo nalezeno v roce 2001 [1] .

Všeobecně se věří, že myšlenka prvotních prvočísel patří Euklidovi a objevila se v jeho důkazu o nekonečnosti počtu prvočísel: Předpokládejme, že existuje pouze n prvočísel, pak je s nimi číslo p n # + 1 společné, což znamená, že buď je prvočíslo, nebo existuje jiné prvočíslo.

Nevyřešené problémy v matematice : Existuje nekonečný počet Euklidových prvočísel?

Konečný nebo nekonečný počet prvotních prvočísel (a zejména Euklidových prvočísel) zůstává otevřeným problémem .

Euklidovské číslo E 6 = 13# + 1 = 30031 = 59 x 509 je složené, což ukazuje, že ne všechna euklidovská čísla jsou prvočísla.

Euklidova čísla nemohou být čtvercová , protože jsou vždy shodná s 3 mod 4.

Pro všechna n ≥ 3 je poslední znaménko E n 1, protože E n  − 1 je dělitelné 2 a 5.

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Dvacet nejlepších: Primorial . Získáno 22. března 2021. Archivováno z originálu dne 25. února 2021.

Odkazy