Zastupování Laxe

Laxova reprezentace - používá se v teorii integrovatelných systémů , reprezentace rovnic systému ve formě Laxovy rovnice pro dvojici časově závislých operátorů, nazývaná Laxova dvojice . Výhodou takového znázornění je, že pokud by bylo možné napsat rovnice v tomto tvaru, automaticky se získá množina prvních pohybových integrálů .

Laxův pár je pár časově závislých operátorů působících v daném Hilbertově prostoru a splňujících Laxovu rovnici : $L(t),P(t)$

{\frac {dL}{dt}}=[P,L]

V takovém případě jsou veličiny (možná ne všechny nezávislé) prvními integrály pohybu. $\operatorname {tr} L^{k}$

Reprezentaci původně navrhl Peter Laks v kontextu teorie solitonů . Například Korteweg-de Vriesova rovnice :

{\displaystyle u_{t}=6uu_{x}-u_{xxx))

může být reprezentován dvojicí:

{\begin{aligned}L&=-\částečné _{x}^{2}+u,\\P&=-4\částečné _{x}^{3}+6u\částečné _{x}+ 3u_{x}\end{aligned}}

Sada poskytuje spočitatelnou sadu konzervovaných množství. $\operatorname {tr} L^{k}$

Mnoho dalších systémů může být také zapsáno jako Laxova reprezentace, jako je sinusová-Gordonova rovnice , Todův řetězec , Kovalevskaya top , Kadomtsev-Petviashvili rovnice a tak dále.

Literatura

P. Lax. Integrály nelineárních rovnic evoluce a osamělých vln // Komunikace o čisté a aplikované matematice. - 1968. - T. 21 , no. 5 . — S. 467–490 . - doi : 10.1002/cpa.3160210503 .
P. Lax, RS Phillips. Teorie rozptylu pro automorfní funkce // Bull. Dopoledne. Matematika. soc. . - 1980. - T. 2 , vydání. 2 .