Pascalovo znamení

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 29. července 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Pascalův znak je matematická metoda, která umožňuje získat znaky dělitelnosti libovolným číslem. Jakýsi „univerzální znak dělitelnosti“.

Celkový pohled

Nechť je přirozené číslo zapsané v desítkové soustavě jako , kde jsou jednotky, jsou desítky atd. $A$ $\overline {a_{n}a_{{n-1}}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}}$ $a_{0}$ $a_{1}$

Nechť je libovolné přirozené číslo, kterým chceme dělit a zobrazit jím znaménko dělitelnosti. $m$

Najdeme řadu zbytků podle následujícího schématu:

r_{1}

- zbytek po dělení

deset

m

r_{2}

- zbytek po dělení

10\cdot r_{1}

m

r_3

- zbytek po dělení

10\cdot r_{2}

m

…

r_{n}

je zbytek po dělení .

10\cdot r_{{n-1}}

m

Formálně:

r_{1}\equiv 10{\pmod m}

r_{i}\equiv 10\cdot r_{{i-1}}{\pmod m},\;i=\overline {2...n}

Protože existuje konečný počet zbytků (jmenovitě ne více než ), bude tento proces probíhat v cyklech (nejpozději v krocích) a nelze v něm pokračovat: Počínaje od nějakého , kde je výsledná sekvenční perioda . Pro jednotnost můžeme předpokládat, že . $m$ $m$ $i=i_{0}:~r_{{i+p}}=r_{i}$ $p$ $\{r_{i}\}$ $r_{0}=1$

Pak má stejný zbytek po dělení jako číslo $A$ $m$

$r_{n}\cdot a_{n}+\ldots +r_{2}\cdot a_{2}+r_{1}\cdot a_{1}+a_{0}$ .

Důkaz

S využitím skutečnosti, že v algebraickém výrazu modulo můžeme nahradit čísla jejich zbytky při dělení , dostaneme: $m$ $m$

$A{\pmod {m}}=({\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}}}){\pmod {m} }=({\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}}}\cdot 10+a_{0}){\pmod {m}}$ $=({\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}}}\cdot r_{1}+a_{0}r_{0}){\pmod {m}}$ $=(({\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2))}\cdot 10+a_{1})\cdot r_{1}+a_{0}r_{ 0}){\pmod {m}}$ $=({\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2))}\cdot 10r_{1}+a_{1}r_{1}+a_{0}r_{0 }){\pmod {m}}$ $=({\overline {a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2))}\cdot r_{2}+a_{1}r_{1}+a_{0}r_{0 }){\pmod {m}}=\ldots =$ $(a_{n}r_{n}+\ldots +a_{2}r_{2}+a_{1}r_{1}+a_{0}r_{0}){\pmod {m))$

Hlavní speciální případy

Test dělitelnosti 2

Zde . Od té doby . Odtud dostáváme známé znaménko: zbytek po dělení čísla 2 se rovná zbytku po dělení jeho poslední číslice 2 , nebo obvykle: číslo je dělitelné 2, pokud je jeho poslední číslice sudá . $m=2$ $10~\vtečky ~2$ $r_{0}=1,~r_{i}=0,~i\in \mathbb {N}$

Znaky dělitelnosti 3 a 9

Zde nebo . Protože ( zbytek po dělení 10 jak 3, tak 9 je 1 ), pak všechno . To znamená, že zbytek po dělení čísla 3 (nebo 9) se rovná zbytku po dělení součtu jeho číslic 3 (respektive 9) , nebo jinak: číslo je dělitelné 3 (nebo 9), pokud součet jeho číslic je dělitelný 3 (nebo 9 ) . $m=3$ $m=9$ $10^{i}\equiv 1{\pmod {3)),i\in \mathbb {N}$ $r_{i}=1$

Test dělitelnosti 4

Zde . Najdeme posloupnost zbytků: . Odtud dostaneme znaménko: zbytek po dělení čísla 4 se rovná zbytku po dělení 4 , nebo, poznamenejme, že zbytek závisí pouze na posledních 2 číslicích: číslo je dělitelné 4, pokud se číslo skládá z jeho poslední 2 číslice jsou dělitelné 4 . $m=4$ $r_{0}=1,~r_{1}=2,~r_{i}=0,~i\in \mathbb {N}$ ${\displaystyle 2\cdot a_{1}+a_{0))$

Znaménko dělitelnosti 5

Zde . Od té doby . Odtud dostáváme známé znaménko: zbytek po dělení čísla 5 se rovná zbytku po dělení jeho poslední číslice 5 , nebo obvykle: číslo je dělitelné 5, pokud je jeho poslední číslice 0 nebo 5 . $m=5$ $10~\vbodů~5$ $r_{0}=1,~r_{i}=0,~i\in \mathbb {N}$

Znaménko dělitelnosti 7

Zde . Zbytek najdeme. $m=7$

$10=1\cdot 7+3\šipka doprava r_{1}=3$
$10\cdot r_{1}=4\cdot 7+2\Rightarrow r_{2}=2$
$10\cdot r_{2}=2\cdot 7+6\Rightarrow r_{3}=6$
$10\cdot r_{3}=8\cdot 7+4\Rightarrow r_{4}=4$
$10\cdot r_{4}=5\cdot 7+5\Rightarrow r_{5}=5$
$10\cdot r_{5}=7\cdot 7+1\Rightarrow r_{6}=1=r_{0}$ , cyklus je uzavřen.

Proto pro libovolné číslo

A=\overline {a_{n}a_{{n-1}}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}}

jeho zbytek při dělení 7 je

a_{0}+3a_{1}+2a_{2}+6a_{3}+4a_{4}+5a_{5}+a_{6}+\ldots

. Příklad

Zvažte číslo 48916. Jak bylo prokázáno výše,

48916\equiv 6+3\cdot 1+2\cdot 9+6\cdot 8+4\cdot 4=

6+3+18+48+16=91\equiv 0{\pmod {7}}

takže 48916 je dělitelné 7.

Znaménko dělitelnosti 11

Zde . Od , pak všechny , a . Odtud můžete získat jednoduché kritérium pro dělitelnost 11: $m=11$ $10^{2n}=99\cdot 101\ldots 01+1\equiv 1{\pmod {11}}$ $r_{2i}=1$ $r_{2i-1}=10\equiv -1{\pmod {11))$

zbytek po dělení čísla 11 se rovná zbytku po dělení jeho součtu číslic, kde každá lichá (od jednotek) číslice je brána se znaménkem „-“, 11.

Jednoduše řečeno:

pokud rozdělíte všechny číslice čísla do 2 skupin - přes jednu číslici (všechny číslice s lichými pozicemi budou spadat do jedné skupiny a sudé do druhé), sečtěte všechny číslice v každé skupině a odečtěte jednu přijatou částku od jiný, pak zbytek po dělení 11 Výsledek bude stejný jako původní číslo.

Literatura

Vorobyov N. N. Známky dělitelnosti . - 4. vyd. - M. : Nauka, 1988. - T. 39. - 94 s. - ( Populární přednášky o matematice ). — ISBN 5-02-013731-6 .