Gromova práce

Gromovův součin je vzdálenost, ve které se dvě geodetika začínající v jednom bodě začnou výrazně rozcházet.

Pojmenován po Gromovovi .

Gromovův součin se používá zejména k definování metriky na absolutní hranici metrického prostoru.

Definice

Nechť je základní bod metrického prostoru pevný . Potom je hodnotou Gromovův součin (vzhledem k bodu ) bodů a tento prostor $x\in X$ $(X,d)$ $X$ $y$ $z$

(y,z)_{x}:={\frac {1}{2}}(d(x,y)+d(x,z)-d(y,z)).

Vlastnosti

Produkt Gromov je nezáporný a symetrický: $\forall x,y,z\in X\quad (y,z)_{x}=(z,y)_{x},\quad (y,z)_{x}\geq 0.$
Pro případ stromu je délka odpovídající části geodetických cest a . $(y,z)_{x}$ $[xy]$ $[xz]$
Pro -hyperbolické prostory platí nerovnost. $\delta$ $(x,z)_{p}\geq \min {\big \{}(x,y)_{p},(y,z)_{p}{\big \}}-\delta .$

Literatura

E. Gies, P. De la Arp. Hyperbolické skupiny podle Michaila Gromova. — M .: Mir, 1992.