Umělecké dílo Kulkarni - Nomizu

Produkt Kulkarni-Nomizu je definován pro dva (0,2) -tenzory a výsledkem je (0,4) - tenzor. Tento produkt umožňuje vyjádřit tenzor křivosti s nulovým Weylovým tenzorem pomocí Ricciho tenzoru křivosti .

Obvykle se označuje . ${~\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}$

Definice

Jestliže a jsou (0,2)-tenzory, pak je součin definován jako: $h$ $k$

h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}k(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}):=h( X_{1},X_{3})\cdot k(X_{2},X_{4})+h(X_{2},X_{4})\cdot k(X_{1},X_{3} )-

-h(X_{1},X_{4})\cdot k(X_{2},X_{3})-h(X_{2},X_{3})\cdot k(X_{1 },X_{4})

kde X j jsou vektory základního prostoru.

Příklady

Pokud má Riemannovo potrubí konstantní průřezové zakřivení , pak jeho tenzor zakřivení je vyjádřen z metrického tenzoru takto: $k$ $R$ $G$ $R={\frac {k}{2}}\cdot g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}g$

Viz také

Zakřivení Riemannových variet

Odkazy

Besse, Arthur . Einsteinovy rozdělovače, II sv. — M .: Mir, 1990. — 384 s. - 4250 výtisků. — ISBN 5-03-002066-7 .
Gallot, S., Hullin, D. a Lafontaine, J. Riemannian Geometrie (neurčité) . — Springer-Verlag , 1990.