Jednoduchá funkce

Jednoduchá funkce je měřitelná funkce , která nabývá konečného počtu hodnot.

Definice

Funkce definovaná na měřitelném prostoru se nazývá jednoduchá, pokud existuje rozdělení na konečný počet neprotínajících se měřitelných množin a množinu čísel (obvykle reálných nebo komplexních) takových, že pro jakékoli . $F$ $(X, {\mathcal {F}})$ $X$ $A_1,\tečky,A_n$ $a_1,\tečky,a_n$ ${\displaystyle f(x)=a_{i))$ ${\displaystyle x\in A_{i))$

Poznámky

Jestliže je pravděpodobnostní prostor , pak jednoduchá funkce se nazývá jednoduchá náhodná proměnná . $(X,{\mathcal {F)))\equiv (\Omega , {\mathcal {F)))$
If je prostor s mírou , jednoduchý a $(X,\mathcal{F},\mu)$ $f:X\to \mathbb {R}$

f(x)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\mathbf {1} }_{A_{i}}(x),x\in X

a ,

\mu (A_{i})<\infty ,\forall i=1,\ldots ,n

pak integrovatelný Lebesgue a

F

\int \limits _{X}f\,d\mu =\sum \limits _{i=1}^{n}a_{i}\,\mu (A_{i})

Příklad

Dovolit , Kde je Borel sigma-algebra na , A je míra Lebesgue . Pak funkce $(X,{\mathcal {F)),\mu )=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B))(\mathbb {R} ),m)$ ${\mathcal {B}} (\mathbb {R} )$ $\mathbb {R}$ $m$

f(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&x>0\\0,&x=0\\-1,&x<0\end{matrix}}\right.,x\ v \mathbb {R}

jednoduché, protože je měřitelné a nabývá tří různých hodnot.

Literatura

Rudin, U. Základy matematické analýzy = Principles of mathematical analysis / Přeloženo z angličtiny. V. P. Khavin . - M .: Mir, 1966. - 319 s.