Nejjednodušší diferenciální rovnice 1. řádu

Nejjednodušší diferenciální rovnice prvního řádu jsou třídou diferenciálních rovnic prvního řádu , které lze nejsnáze řešit a studovat. Zahrnuje rovnice totálních diferenciálů , rovnice se separovatelnými proměnnými, homogenní rovnice prvního řádu a lineární rovnice prvního řádu . Všechny tyto rovnice lze integrovat do konečné podoby.

Východiskem prezentace bude diferenciální rovnice prvního řádu, napsaná v tzv. symetrický tvar:

${\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrix}}\qquad (1),$

kde funkce a jsou definovány a spojité v nějaké doméně . $P(t,x)$ $Q(t,x)$ $\Omega \subseteq {\mathbb {R}}_{{t,x}}^{2}$

Rovnice v celkových diferenciálech

Je-li v rovnici (1) levá strana totální diferenciál, tedy , pak se taková rovnice nazývá rovnice totálních diferenciálů (zvláštní případ tzv. Pfaffovy rovnice ). Integrální křivky takové rovnice jsou úrovňové čáry funkce , tzn. jsou určeny rovnicí pro všechny možné hodnoty libovolné konstanty . ${\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=dU(t,x)\end{matrix))$ $U(t,x)$ $U(t,x)=C$ $C$

Pokud je podmínka splněna v oboru , pak obecné řešení rovnice (1) je určeno z rovnice jako implicitní funkce . Každým bodem oblasti prochází jedinečná integrální křivka rovnice (1) . $\Omega$ $Q(t,x)\neq 0$ $U(t,x)=C$ $x=\varphi(t,C)$ $\Omega$ $x=\varphi(t,C)$

Pokud je uvažovaná doména jednoduše spojena a derivace jsou také spojité v , pak aby (1) byla rovnice v celkových diferenciálech, je nutné a postačující, aby podmínka $\Omega$ ${\frac {\partial P}{\partial x)),{\frac {\partial Q}{\partial t))$ $\Omega$

{\frac {\partial P}{\partial x))={\frac {\partial Q}{\partial t))\qquad \forall (t,x)\in \Omega

(znak rovnice v totálních diferenciálech).

Integrační faktor

Spojitá funkce v se nazývá integrační faktor rovnice (1), jestliže rovnice je rovnicí v totálních diferenciálech, tedy pro nějakou funkci . Počet integračních faktorů této rovnice je nekonečný. $\mu (t,x)\neq 0$ $\Omega$ $\mu (Pdt+Qdx)=0$ $\mu (Pdt+Qdx)=dU$ $U(t,x)$

Funkce je integračním faktorem rovnice (1) právě tehdy, když splňuje rovnici $\mu(t,x)$

{\frac {\partial {\left(\mu P\right)}}{\partial x}}={\frac {\partial {\left(\mu Q\right))){\partial t }}\qquad\left(2\right)

( stále předpokládáme, že definiční obor je jednoduše spojen; rovnice (2) je důsledkem vlastnosti rovnice v totálních diferenciálech). $\Omega$

Rovnice (2) je obecně obtížněji řešitelná než (1), ale k integraci (1) stačí znát jeden integrační faktor, tedy najít libovolné řešení rovnice (2). Obvykle hledají řešení (2) ve tvaru nebo , ale to není vždy možné. $\mu =\mu (t)$ $\mu =\mu (x)$

Algoritmus řešení

(jeden) ${\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrix))$

(2) ${\begin{matrix}P'_{x}(t,x)=Q'_{t}(t,x)\end{matrix))$

(3) ${\begin{matrix}U'_{t}=P(t,x),U'_{x}=Q(t,x)\end{matrix))$

Vezměte (3.1) a integrujte přes proměnnou t:

(*) ${\begin{matrix}U(t,x)=\int P(t,x)dt+\varphi (x)\end{matrix))$

Nahraďte v (3.2):

${\begin{matrix}U'_{x}(t,x)=(\int P(t,x)dt)'_{x}+\varphi '_{x}(x)\end {matice}}$

Ve výsledné rovnosti budou členy obsahující t zničeny. Dostáváme: . Integrujeme přes x a dosadíme do (*). ${\begin{matrix}\varphi '_{x}(x)=g(x)\end{matrix))$

Oddělitelné proměnné rovnice

Pokud v rovnici (1) , pak se jedná o rovnici s oddělitelnými proměnnými . Může být zapsán v symetrickém tvaru: $P(t,x)=T_{1}(t)X_{1}(x),\ Q(t,x)=T_{2}(t)X_{2}(x)$

T_{1}(t)X_{1}(x)dt+T_{2}(t)X_{2}(x)dx=0\qquad \left(3\right)

Řešení rovnice s oddělitelnými proměnnými
- Řešení rovnice jsou řešení (3). $X_{1}(x)T_{2}(t)=0$
- Pokud je oblast zvolena tak, že , pak dělením dostaneme rovnici s oddělenými proměnnými $\Omega$ $X_{1}(x)T_{2}(t)\neq 0\quad \forall (t,x)\in \Omega$ $X_{1}(x)T_{2}(t)$

{\frac {T_{1}}{T_{2}}}dt+{\frac {X_{2}}{X_{1}}}dx=0.

Toto je speciální případ rovnice totálních diferenciálů. Je pro něj velmi snadné získat řešení v kvadratuře. Integrální křivka rovnice (3) procházející bodem má tvar: $(t_{0},x_{0})\in \Omega$

\int \limits _{t_{0}}^{t}{{\frac {T_{1}}{T_{2}}}dt}+\int \limits _{x_{0}}^ {x}{{\frac {X_{2}}{X_{1}}}dx}=0.

Příklad diferenciální rovnice

$y'={\frac {y}{x}}+cos^{2}{\frac {y}{x}}$