Pětirozměrný mnohostěn

V pětirozměrné geometrii je pětirozměrný polytop nebo 5-polytop polytop v 5-rozměrném prostoru ohraničený 4-rozměrnými plochami. Navíc každá trojrozměrná polyedrická buňka patří přesně dvěma čtyřrozměrným plochám.

Definice

5-polytop je uzavřená 5-rozměrná postava s vrcholy , hranami , plochami , buňkami a 4 plochami . Vrchol je bod , kde se setkává pět nebo více hran. Hrana je segment patřící čtyřem nebo více plochám. Plocha je mnohoúhelník patřící třem nebo více buňkám. Buňka je (3-rozměrný) polytop a 4-face je 4-rozměrný polytop . Kromě toho musí být splněny následující požadavky:

1. Každá buňka musí sousedit přesně se dvěma čtyřrozměrnými plochami.
2. Sousední 4rozměrné plochy neleží na stejné 4rozměrné nadrovině .
3. Figurka není kombinací jiných figurek, které splňují požadavky.

Charakteristika

Topologie každého daného 5-rozměrného mnohostěnu je definována jeho Betti čísly a torzními koeficienty [1] .

Význam Eulerovy charakteristiky , používané k charakterizaci polytopů, nezobecňuje správně na vyšší dimenze, bez ohledu na základní topologii. Tato nekonzistence v Eulerově charakteristice pro spolehlivé rozlišování mezi různými topologiemi ve vysokých dimenzích vede ke vzniku jemnějších Betti čísel [1] .

Podobně pojem orientovatelnosti mnohostěnu je nedostatečný pro charakterizaci zkroucení povrchů toroidních mnohostěnů, což vede k použití torzních koeficientů [1] .

Klasifikace

5-rozměrné mnohostěny mohou být klasifikovány podle vlastností, jako je „ konvexnost “ a „ symetrie “.

• 5-polytop je konvexní , pokud se jeho hranice (včetně buněk, (3-rozměrných) ploch a hran) neprotínají (v principu mohou plochy polytopu procházet vnitřkem pláště) a úsečky spojující libovolné dva body 5-polytopy jsou zcela obsaženy uvnitř. Jinak je mnohostěn považován za nekonvexní . Samoprotínající se pětirozměrné mnohostěny jsou také známé jako hvězdné mnohostěny , analogicky s hvězdicovými tvary nekonvexních mnohostěnů Kepler-Poinsot .

• jednotné 5-polytopy mají skupinu symetrie, pro kterou jsou všechny vrcholy ekvivalentní, a 4-rozměrné plochy jsou jednotné 4-polytopy . Čtyřrozměrné plochy jednotného mnohostěnu musí být pravidelné . Kompletní sada homogenních pětirozměrných mnohostěnů nebyla stanovena.

• polopravidelný 5-polytop obsahuje dva nebo více typů pravidelných 4-rozměrných ploch. Existuje pouze jedna taková postava, která má název semipenteract .

• Pravidelný 5-polytop má všechny 4-rozměrné plochy identické. Všechny pravidelné 5-polytopy jsou konvexní.

• hranolový 5-polytop je přímým produktem méněrozměrných mnohostěnů. Prizmatický 5-rozměrný mnohostěn je homogenní, pokud jsou jeho faktory v přímém produktu homogenní. Hyperkrychle je prizmatická (součin čtverce a krychle ), ale je zpracována odděleně, protože má vyšší symetrii než symetrie zděděné z faktorů.

• 4rozměrný obklad je rozklad 4rozměrného euklidovského prostoru na pravidelnou mřížku mnohostěnů. Přísně vzato, obklady nejsou mnohostěny, protože neexistují žádná omezení, ale pro úplnost je zde uvádíme, protože jsou v mnoha ohledech podobné mnohostěnům. Jednotný čtyřrozměrný obklad je obklad, jehož vrcholy tvoří krystalografickou skupinu a jehož plochy jsou jednotné čtyřrozměrné mnohostěny.

Pravidelné 5-mnohastěny

Pravidelné 5-rozměrné mnohostěny mohou být reprezentovány Schläfliho symbolem {p,q,r,s}.

Existují přesně tři takové konvexní pravidelné 5-polytopy:

1. {3,3,3,3} - Hexatheron (5-rozměrný simplex)
2. {4,3,3,3} – Penteract (5d kostka)
3. {3,3,3,4} — Pětirozměrný ortoplex [

Pro 3 konvexní pravidelné 5-polytopy a jeden polopravidelný jsou prvky:

název	Symbol(y) Schläfli	Coxeterův graf	Vrcholy	žebra	tváře	Buňky	4-rozměrné tváře	Symetrie ( objednávka )
Hexateron	{3,3,3,3}		6	patnáct	dvacet	patnáct	6	A 5 , (120)
Penteract	{4,3,3,3}		32	80	80	40	deset	BC5 , (3820 )
5-ortoplex	{3,3,3,4} {3,3,3 1,1 }		deset	40	80	80	32	BC 5 , (3840) 2×D 5

Jednotné 5-rozměrné mnohostěny

Pro tři polopravidelné 5-polyedry jsou prvky:

název	Symbol(y) Schläfli	Coxeterův graf	Vrcholy	žebra	Fazety	Buňky	4 tváře	Symetrie ( objednávka )
Rozšířený 5-simplex	t 0,4 {3,3,3,3}		třicet	120	210	180	162	2×A 5 , (240)
5-půlkuba	{3,3 2,1 } h{4,3,3,3}		16	80	160	120	26	D5 , ( 1920) ½ BC5
Rektifikovaný 5-ortoplex	t 1 {3,3,3,4} t 1 {3,3,3 1,1 }		40	240	400	240	42	BC 5 , (3840) 2×D 5

Rozšířený 5rozměrný simplex je vrcholová postava uniformních pětirozměrných simplexních plástů ,. Vrcholový obrazec pětirozměrných plástů z polokrychlí ,, je rektifikovaný 5-ortoplex a tváře jsou 5- ortoplexy a 5-semikuby .

Pyramidy

Pyramidální 5-polyedry ( 5-pyramidy ) lze vytvořit pomocí 4-rozměrné polyedrické základny ve 4-rozměrném hyperprostoru spojeném s bodem, který neleží v nadrovině. 5-rozměrný simplex je nejjednodušší příklad se 4-rozměrným simplexem na základně.

Viz také

• Seznam pravidelných 5-rozměrných mnohostěnů

Poznámky

1. ↑ 1 2 3 Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology , Princeton, 2008.

• T. Gosset O pravidelných a poloregulárních obrazcích v prostoru n dimenzí // Messenger of Mathematics . - Macmillan, 1900.
• A. Boole Stott Geometrická dedukce semireguláru od pravidelných polytopů a prostorových výplní // Verhandelingen of the Koninklijke academy van Wetenschappen width unit Amsterdam. - Amsterdam, 1910. -T. Eerste Sectie 11,no. 1.
• HSM Coxeter :
  • HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins, JCP Miller: Uniform Polyhedra , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
  • HSM Coxeter . Pravidelné polytopy . - 3. (1947, 63, 73). - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
• HSM Coxeter . Kaleidoskopy: Vybrané spisy HSM Coxetera / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Wiley-Interscience Publication, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
  • (Příspěvek 22) HSM Coxeter, pravidelné a polopravidelné polytopy I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2.10]
  • (Příspěvek 23) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  • (Příspěvek 24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• Norman Johnson . Teorie jednotných polytopů a voštin. — Ph.D. Disertační práce. — University of Toronto, 1966.
• Richard Klitzing, 5D, jednotné polytopy (polytera) ]

Odkazy

• Polytopy různých rozměrů , Jonathan Bowers
• Uniforma Polytera , Jonathan Bowers
• George Olshevsky Polytope na Glosáři pro hyperprostor

• Vícerozměrný glosář , Garrett Jones