Rovnost smíšených derivací

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 22. listopadu 2021; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Smíšené parciální derivace téže funkce, lišící se pouze v pořadí (pořadí) derivace, jsou si navzájem rovny za předpokladu, že jsou spojité. Taková vlastnost se nazývá rovnost smíšených derivátů .

Samotné tvrzení o rovnosti smíšených derivací je v různých zdrojích označováno jako Schwarzova věta, Clairautova věta nebo Yangova věta .

Věta

Definice smíšeného derivátu

Nechť je dána dostatečně hladká (skalární) funkce několika proměnných: $F$

(1)\qquad f=f(x_{1},x_{2},\tečky x_{n})

Můžeme vzít parciální derivaci této funkce s ohledem na jeden z argumentů , zatímco zbývající argumenty považujeme za konstantní parametry. V důsledku toho získáme novou funkci: $x_{i}$

(2)\qquad \phi (x_{i})={\částečné f \over \částečné x_{i}}{\bigg |}_{x_{1},\tečky x_{i-1} ,x_{i+1},\tečky x_{n}=const}

Tato nová funkce také závisí na ostatních argumentech jako parametrech. To znamená, že číselná hodnota obecně závisí na stejných proměnných jako původní funkce : $\phi$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\tečky x_{n))$ $F$

(3)\qquad \phi =\phi (x_{1},x_{2},\tečky x_{n})

Pokud se funkce ukáže jako dostatečně hladká, můžeme ji také diferencovat tím, že vezmeme parciální derivaci s ohledem na stejný nebo jiný argument : $\phi$ $x_{j}$

(4)\qquad {\partial \phi \over \partial x_{j))={\partial ^{2}f \over \partial x_{j}\partial x_{i))

Jestliže , pak výraz na pravé straně rovnosti (4) se nazývá smíšená derivace . $j\neq i$

Základ věty

Pro hladkou funkci mnoha proměnných nezávisí hodnota smíšené derivace na pořadí derivace:

(5)\qquad {\částečný ^{2}f \přes \částečný x_{i}\částečný x_{j))={\částečný ^{2}f \přes \částečný x_{j}\částečný x_{i}}

Věta je základem v teorii funkcí mnoha proměnných a je široce používána v matematické fyzice, teorii parciálních diferenciálních rovnic a diferenciální geometrii.

Nezbytný stupeň hladkosti

Požadovaný stupeň hladkosti by měl být specifikován krok za krokem.

1. Platnost pro analytickou funkci (věta).
2. Platnost pro širší třídu funkcí, které mají pouze takové spojité derivace v okolí bodu:

(6)\qquad {\partial f \over \partial x_{i)),\;{\partial f \over \partial x_{j)),\;{\partial ^{2}f \over \částečné x_{i}\částečné x_{j)),{\částečné ^{2}f \přes \částečné x_{j}\částečné x_{i))

3. Protože pro fixní indexy jsou všechny derivace ze seznamu (6) brány za podmínky, že kterýkoli třetí argument je konstanta, funkce (stejně jako všechny derivace (6)) může být nespojitá vzhledem ke třetím argumentům. Složme například funkci dvou výrazů: $i,j$ $x_k$ $F$

f(x_{1},x_{2},\tečky x_{n})=\Phi (x_{i},x_{j})+Z(\tečky x_{i-1},x_{ i+1},\tečky x_{j-1},x_{j+1},\tečky )

kde první člen je hladkou funkcí dvou argumentů a druhý člen je ve všech bodech nespojitý.

Další zpřesnění hladkosti funkce musí být provedeno v průběhu důkazu věty, bude formulováno na samém konci.

Důkaz věty

Jak bylo uvedeno výše, k prokázání věty je možné ignorovat závislost funkce na třetích argumentech. Proto pro usnadnění zápisu změníme zápis na , to znamená, že budeme uvažovat takovou funkci dvou proměnných: $x_{i},x_{j}$ $x, y$

(7)\qquad f=f(x,y)

Pro zjednodušení vzorců také označíme parciální derivace indexy ve spodní části funkce:

(8)\qquad f_{x}(x,y)={\částečné f(x,y) \over \částečné x},\;f_{y}(x,y)={\částečné f (x,y) \přes \částečné y}

(8a)\qquad f_{xy}={\částečné ^{2}f \přes \částečné x\částečné y},\;f_{yx}={\částečné ^{2}f \přes \částečné y\částečné x}

Nechť je v bodě smíšená derivace: $(x, y)$

(9)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{f_{y}(x+\Delta x,y)-f_{y}(x, y) \over \Delta x}

Předpokládejme, že smíšená derivace existuje v , a že také existuje první derivace podél (horizontální) čáry $f_{xy}$ $(x, y)$ $f_{y}(x,y)$ $y=const$ .

Dále, rozdíl derivací je roven derivaci rozdílu, takže vzorec (9) změníme na:

(10)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}{\partial \over \partial y}\left[f (x+\Delta x,y)-f(x,y)\vpravo]

Tato transformace neklade žádné další podmínky, protože rozdíl diferencovatelných funkcí je vždy diferencovatelnou funkcí.

Dále, rozdíl v hranatých závorkách vzorce (10) lze zapsat jako určitý integrál derivace:

(11)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}{\partial \over \partial y}\int _{ x}^{x+\Delta x}f_{x}(\xi ,y)d\xi

Je nutné, aby existovala parciální derivace podél přímky $f_{x}$ $y=const$ .

Nyní zapíšeme parciální derivaci vzhledem k y ve vzorci (11) podle definice derivace jako limity:

(12)\qquad f_{xy}(x,y)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}{1 \over \Delta y}\left(\int _{x}^{x+\Delta x}f_{x}(\xi ,y+\Delta y)d\xi -\int _{x}^{x+\Delta x}f_{x}(\xi ,y)d\xi \right)

Jak vidíte, je nutné, aby parciální derivace existovala nejen na přímce , ale v nějakém dvourozměrném okolí bodu . $f_{x}$ $y=const$ $(x, y)$

Dále se rozdíl integrálů rovná integrálu rozdílu a pod znaménko integrálu lze zavést konstantní faktor : ${1 \over \Delta y}$

(13)\qquad f_{xy}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^ {x+\Delta x}{f_{x}(\xi ,y+\Delta y)-f_{x}(\xi ,y) \over \Delta y}d\xi

Tato transformace také neklade další podmínky, protože rozdíl integrovatelných funkcí je integrovatelnou funkcí.

Podle Lagrangeovy věty je integrand ve vzorci (13) roven derivaci ve středu:

(14)\qquad {f_{x}(\xi ,y+\Delta y)-f_{x}(\xi ,y) \over \Delta y}=f_{yx}(\xi ,\eta )

Střed je funkce:

(14a)\qquad \eta =\eta (\xi ,\Delta y)

jehož hodnoty leží v intervalu (pokud například ) $\Delta y>0$

(14b)\qquad \eta \in \,[y,y+\Delta y]

Pro platnost (14) je vyžadována existence smíšené derivace v nějakém dvourozměrném okolí bodu . ${\displaystyle f_{yx}={\partial ^{2}f \over \partial y\partial x))$ $(x, y)$

Abychom dokončili důkaz, musíme předpokládat, že smíšená derivace je spojitá v bodě jako funkce dvou proměnných. Hodnota této derivace v blízkém bodě se rovná až do nekonečně malého členu hodnotě derivace v bodě : $(x, y)$ $(\xi ,\eta )$ $(x, y)$

(15)\qquad f_{yx}(\xi ,\eta )=f_{yx}(x,y)+o(\xi -x,\eta -y)

Smíšená derivace existuje ve dvourozměrném sousedství bodu a je v tomto bodě spojitá jako funkce dvou proměnných. ${\displaystyle f_{yx))$ $(x, y)$

Nahraďte (14) a (15) za (13):

(16)\qquad f_{xy}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^ {x+\Delta x}(f_{yx}(x,y)+o(\xi -x,\eta -y))d\xi

Všimněte si, že vzorec (16) je ekvivalentní formuli (13) (i když v jiném zápisu), a proto existují integrál a obě hranice. Protože integrand v (16) je integrovatelný a první člen je konstanta vzhledem k integrační proměnné , druhý člen se také ukáže jako integrovatelný a integrál můžeme rozdělit na součet dvou integrálů, z nichž první což lze snadno vzít jako integrál konstanty: $f_{yx}(x,y)$ $\xi$

(17)\qquad \int _{x}^{x+\Delta x}(f_{yx}(x,y)+o(\xi -x,\eta -y))d\xi =\ int _{x}^{x+\Delta x}f_{yx}(x,y)d\xi +\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta -y) d\xi =

=f_{yx}\Delta x+\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta -y)d\xi

Po dosazení (17) do (16) můžeme vzít konstantní člen nejprve mimo první hranici a poté mimo druhou hranici:

(18)\qquad f_{xy}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\left(f_{yx}(x,y)\Delta x+\lim _ {\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi \right)=

=f_{yx}(x,y)+\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x} ^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi

Ukažme, že druhý člen v posledním výrazu vzorce (18) je roven nule. Vezměme libovolné kladné číslo . Spojitost smíšené derivace v bodě znamená, že existuje kladné číslo , takže pro každý bod uvnitř čtverce platí následující nerovnost: $\epsilon$ ${\displaystyle f_{yx))$ $(x, y)$ $\delta$ $(\xi ,\eta )$ $|\xi -x|<\delta ,\;|\eta -y|<\delta$

(19)\qquad |o(\xi -x,\eta -y)|=|f_{yx}(\xi ,\eta )-f_{yx}(x,y)|<\epsilon

Pokud vezmeme kladná čísla , pak integrál v posledním členu vzorce (18) se odhadne shora: $\Delta x<\delta ,\;\Delta y<\delta$

(20)\qquad \int _{x}^{x+\Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi <\int _{x }^{x+\Delta x}\epsilon d\xi =\epsilon \Delta x

Označme tento termín $L$

(21)\qquad L=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _{\Delta y\rightarrow 0}\int _{x}^{x+\ Delta x}o(\xi -x,\eta (\xi ,\Delta y)-y)d\xi \leq \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{1 \over \Delta x}\lim _ {\Delta y\rightarrow 0}\epsilon \Delta x=\epsilon

Podobně (pokud vezmeme ), máme dolní mez: $-\epsilon <\Delta x<0$

(22)\qquad L\geq -\epsilon

Protože kladné číslo může být libovolně malé, nutně následuje . Věta byla prokázána. $\epsilon$ $L=0$

Upřesnění plynulosti funkce

Jak je vidět v průběhu důkazu, vyžaduje se, aby funkce měla jednu smíšenou derivaci (například ) v bodě a také existenci druhé smíšené derivace ve dvourozměrném okolí bodu a jeho kontinuitu v tomto bodě. Tato podmínka také implikuje existenci derivace podél úsečky a existenci derivace ve dvourozměrném okolí bodu. $f_{xy}$ ${\displaystyle f_{yx))$ ${\displaystyle f_{y))$ $y=const$ $f_{x}$

Kromě toho existence v bodě vyplývá ze dvou faktů: (a) existuje derivace podél úsečky procházející bodem , (b) existuje smíšená derivace a je v tomto bodě spojitá. $f_{xy}$ $(x, y)$ ${\displaystyle f_{y))$ $y=const$ $(x, y)$ ${\displaystyle f_{yx))$

Příklad

Zvažte funkci

(23)\qquad f(x,y)=xy+y^{2}\chi (y)

kde Dirichletova funkce je nula v racionálních bodech a jedna v iracionálních. Funkce (23) je definována v celé rovině; je spojitá (jako funkce dvou proměnných) podél přímky a je nespojitá ve všech ostatních bodech roviny. $\chi (y)$ ${\displaystyle y={m \over n))$ $y=0$

Všude existuje spojitá parciální derivace:

(24)\qquad f_{x}(x,y)={\částečné f \over \partial x}=y

a také jeden ze smíšených derivátů:

(25)\qquad f_{yx}(x,y)={\částečné ^{2}f \over \částečné y\částečné x}=1

Parciální derivace vzhledem k y existuje pouze v bodech na přímce : $y=0$

(26)\qquad f_{y}(x,0)=x

Ve stejných bodech přímky je také druhá smíšená derivace:

(27)\qquad f_{xy}(x,0)=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{f_{y}(x+\Delta x,0)-f_{y}(x, 0) \over \Delta x}=1

Jak vidíte, pro body přímky jsou splněny podmínky věty a obě smíšené derivace jsou stejné. $y=0$

Protipříklad

Uvažujme funkci dvou proměnných $x, y$

(28)\qquad f(x,y)={|ax+by|^{3} \over {\sqrt {x^{2}+y^{2))))

kde písmena označují některé nenulové parametry. Vzorec (28) definuje spojitou funkci všude v rovině kromě počátku . Můžeme předefinovat funkci na počátku $a,b$ $x=0,\;y=0$ $f(x,y)$

(29)\qquad f(0,0)=0

Podle těchto definic bude funkce také spojitá v počátku, což lze vidět předložením vzorce (28) v polárním souřadnicovém systému (a směrováním ): $r\rightarrow 0$

(30)\qquad f(r,\phi )=(a^{2}+b^{2})^{3 \over 2}\,r^{2}|\sin(\phi + \phi _{0})|^{3}

Ukažme, že pro tuto rozšířenou funkci existují smíšené derivace na počátku, ale nejsou si navzájem rovny. $f(x,y)$

Nejprve spočítáme první derivace . Jako mezivýsledek si všimneme, že funkce krychle modulu je dvakrát diferencovatelná a její první a druhá derivace jsou vypočteny podle vzorců: ${\displaystyle f_{x},\,f_{y))$

(31)\qquad {d \over dx}|x|^{3}=3x|x|

(31a)\qquad {d^{2} \over dx^{2}}|x|^{3}={d \over dx}(3x|x|)=6|x|

Nyní, když vezmeme v úvahu (28) a (31), zapíšeme první derivace funkce do jiného bodu v rovině, než je počátek ( ): $f(x,y)$ ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2))))$

(32)\qquad f_{x}=3a{(ax+by)|ax+by|  \over r}-{x \over r^{3}}|ax+by|^{3}

(33)\qquad f_{y}=3b{(ax+by)|ax+by|  \over r}-{y \over r^{3}}|ax+by|^{3}

Můžete také vypočítat první derivace na počátku na základě definice derivace:

(32a)\qquad f_{x}(0,0)=\lim _{x\rightarrow 0}{f(x,0)-f(0,0) \over x}=\lim _{ x\rightarrow 0}{|ax|^{3} \over {x|x|}}=0

Podobně

(33a)\qquad f_{y}(0,0)=0

Nyní přejdeme k výpočtu smíšených derivátů na počátku:

(34)\qquad f_{xy}(0,0)=\lim _{x\rightarrow 0}{f_{y}(x,0)-f_{y}(0,0) \over x }=\lim _{x\rightarrow 0}{1 \over x}\left({3bax|ax| \over |x|}\right)=3ab|a|

Podobný výpočet dává:

(35)\qquad f_{yx}(0,0)=3ab|b|

Je snadné vidět, že vzorce (34) a (35) poskytují různé výsledky, pokud:

(36)\qquad |a|>0,\;|b|>0,\;|a|\neq |b|

Důvodem této nerovnosti je, že není splněna podmínka věty - obě smíšené derivace (ačkoliv existují všude) jsou v počátku nespojité.

Můžete také zvážit funkci

f(x,y)={xy(x^{2}-y^{2}) \over x^{2}+y^{2}}

Zjednodušený důkaz pro analytické funkce

Analytická funkce dvou proměnných (alespoň lokálně) expanduje do konvergentní mocninné řady:

(37)\qquad f(x,y)=\sum _{n,m=0}^{\infty }a_{nm}(x-x_{0})^{n}(y-y_ {0})^{m}

Jak je známo, mocninnou řadu lze člen po členu v rámci jejího poloměru konvergence. Najdeme tedy první deriváty:

(38)\qquad f_{x}=\sum _{n,m=0}^{\infty }na_{nm}(x-x_{0})^{n-1}(y-y_ {0})^{m}

(39)\qquad f_{y}=\sum _{n,m=0}^{\infty }ma_{nm}(x-x_{0})^{n}(y-y_{0 })^{m-1}

Opakovaná diferenciace (38) a (39) dává stejný vzorec pro oba smíšené deriváty:

(40)\qquad f_{xy}=f_{y}x=\sum _{n,m=0}^{\infty }nma_{nm}(x-x_{0})^{n- 1}(y-y_{0})^{m-1}

Viz také

Smíšená parciální derivace

Literatura

Hazewinkel, Michiel. Encyklopedie matematiky (neurčité) . - Springer, 2001. - ISBN 978-1556080104 .
Kleinert, H. Multivalued Fields in Condensed Matter, Electrodynamics, and Gravitation (anglicky) . - World Scientific , 2008. - ISBN 978-981-279-170-2 .