Fourierova řada

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 1. dubna 2022; kontroly vyžadují 5 úprav .

Fourierova řada - reprezentace funkces periodoujako řada $F$ $\tau$

f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{k=1}^{+\infty }A_{k}\cos \left(k{\ frac {2\pi }{\tau }}x+\theta _{k}\right)

Tuto sérii lze také napsat jako

f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f))_{k}e^{ik{\frac {2\pi }{ \tau }}x},

kde

A_k

je amplituda harmonické oscilace,

k

k{\frac {2\pi }{\tau }}=k\omega

je kruhová frekvence harmonického kmitání,

\theta_k

je počáteční fáze té oscilace,

k

\hat{f}_k

— komplexní amplituda

k

V obecnější formě je Fourierova řada prvku nějakého prostoru funkcí expanzí tohoto prvku v úplném systému ortonormálních funkcí, nebo jinými slovy v bázi sestávající z ortogonálních funkcí . V závislosti na typu použité integrace se hovoří o Fourier-Riemannově řadě , Fourier-Lebesgueově řadě atd. [1]

Existuje mnoho systémů ortogonálních polynomů a jiných ortogonálních funkcí (jako jsou Haarovy , Walshovy a Kotelnikovovy funkce), ve kterých lze provádět Fourierovu řadu expanze funkce.

Rozšíření funkce Fourierovou řadou je mocný nástroj pro řešení široké škály problémů díky skutečnosti, že Fourierova řada se chová transparentně při derivování , integraci , posouvání funkce vzhledem k argumentu a konvoluci funkcí.

V různých odvětvích matematiky existuje mnoho zobecnění Fourierových řad. Například libovolná funkce na konečné grupě může být rozšířena na řadu podobnou Fourierově řadě v podmínkách maticových prvků neredukovatelných reprezentací té grupy ( teorém úplnosti ).

Historie

Fourierova řada je pojmenována po francouzském matematikovi Jean-Baptiste Josephu Fourierovi (1768-1830), který významně přispěl ke studiu trigonometrických řad po předběžných studiích Leonharda Eulera , Jeana Lérona d'Alemberta a Daniila Bernoulliho [2] . Fourier zavedl sérii pro účely řešení rovnice tepla v kovové desce, své počáteční výsledky zapsal do své Reminiscence of the Propagation of Heat in Solids (Pojednání o šíření tepla v pevných látkách) a publikoval je v Analytical Theory of Heat. (Théorie analytique de la chaleur) v roce 1822. Reminiscence poskytuje analýzu Fouriera, zejména Fourierovy řady. Díky Fourierovu výzkumu byla zjištěna skutečnost, že libovolnou (spojitou) [3] funkci lze reprezentovat trigonometrickou řadou. První oznámení o tomto velkém objevu učinil Fourier v roce 1807 před Francouzskou akademií [4] . Rané myšlenky na rozšíření periodické funkce na součet jednoduchých oscilačních funkcí se datují do 3. století před naším letopočtem, kdy starověcí astronomové navrhli empirický model planetárního pohybu založený na rodinách a epicyklech.

Tepelná rovnice je parciální diferenciální rovnice. Před Fourierovou prací nebylo řešení tepelné rovnice obecně známé, i když konkrétní řešení byla známa, pokud se zdroj tepla choval jednoduchým způsobem, zejména pokud byl zdrojem tepla sinusová nebo kosinusová vlna. Tato jednoduchá řešení jsou nyní někdy označována jako nativní řešení. Fourierovou myšlenkou bylo modelovat komplexní zdroj tepla jako superpozici (nebo lineární kombinaci) jednoduchých sinusových a kosinových vln a napsat řešení jako superpozici odpovídajících vlastních řešení. Tato superpozice nebo lineární kombinace se nazývá Fourierova řada.

Z moderního hlediska jsou Fourierovy výsledky poněkud neformální kvůli nedostatku přesného konceptu funkce a integrálu na počátku devatenáctého století. Později Peter Gustav Lejeune Dirichlet [5] a Bernhard Riemann [6] [7] [8] vyjádřili Fourierovy výsledky s větší přesností a formálností.

Ačkoli původní motivací bylo řešení rovnice tepla, později se ukázalo, že stejné metody lze aplikovat na širokou škálu matematických a fyzikálních problémů, zejména těch, které zahrnují lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, pro které jsou vlastními řešeními sinusoidy. Fourierova řada má mnoho aplikací v elektrotechnice, analýze vibrací, akustice, optice, zpracování signálů, zpracování obrazu, kvantové mechanice, ekonometrii [9] , teorii překryvů [10] atd.

Trigonometrické Fourierovy řady

Trigonometrická Fourierova řada funkce (tj. funkce sčítatelná na intervalu nebo její periodické rozšíření na reálnou čáru) je funkční řada tvaru $f\in {\mathcal {L}}([-\pi ,\pi ])$ $([-\pi ,\pi ])$

f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx),

(jeden)

kde

a_0= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,

a_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx,

b_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx,

Čísla a ( ) se nazývají Fourierovy koeficienty funkce . Vzorce pro ně lze vysvětlit následovně. Předpokládejme, že chceme reprezentovat funkci jako řadu (1) a potřebujeme určit neznámé koeficienty , a . Pokud vynásobíme pravou stranu (1) a integrujeme přes interval , pak všechny členy na pravé straně v důsledku ortogonality sinů a kosinus na tomto intervalu zmizí, kromě jednoho. Z výsledné rovnosti se koeficient snadno vyjádří . Podobně pro . $a_{0}$ $a_n$ $b_n$ $n = 1, 2, \ldots$ $F$ $f\in {\mathcal {L}}([-\pi ,\pi ])$ $a_{0}$ $a_n$ $b_n$ $\cos(kx)$ $[-\pi,\pi]$ $a_{k}$ $b_{k}$

Řada (1) pro funkci z prostoru konverguje v tomto prostoru. Jinými slovy, označíme-li dílčími součty řad (1): $F$ ${\mathcal {L}}_{2}([-\pi ,\pi ])$ $S_k(x)$

S_k(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{k}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)

pak jejich standardní odchylka od funkce bude mít tendenci k nule: $F$

\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(f(x)-S_k(x))^2dx=0

Navzdory konvergenci odmocnina-střední čtverec, Fourierova řada funkce, obecně řečeno, není vyžadována, aby k ní bodově konvergovala.

Často je při práci s Fourierovými řadami vhodnější použít jako základ exponenty imaginárního argumentu místo sinus a kosinus. Uvažujeme prostor ${\mathcal {L}}^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )$ komplexních funkcí s vnitřním součinem

\langle f,g\rangle := \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx

Uvažujeme také o systému funkcí

\varphi_k(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx), k\in\mathbb{Z}

Stejně jako dříve jsou tyto funkce párově ortogonální a tvoří kompletní systém, a proto na ně může být rozšířena jakákoli funkce ve Fourierově řadě: $f\in {\mathcal {L}}^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )$

f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx}

kde řada na pravé straně konverguje k normě v . Tady $F$ $L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})$

\hat{f}_k= \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx

Koeficienty souvisí s klasickými Fourierovými koeficienty pomocí následujících vztahů: $\hat{f}_k$

\hat{f}_k = (a_k-ib_k)/2, k>0

\hat{f}_0 = a_0/2

\hat{f}_k = (a_{|k|}+ib_{|k|})/2, k<0

a_k = \hat{f}_k+\hat{f}_{-k}, k>0

b_k = i(\hat{f}_k-\hat{f}_{-k}), k>0

Pro funkci reálné hodnoty jsou koeficienty a komplexně sdružené. $\hat{f}_k$ $\hat{f}_{-k}$

Zobecnění

Fourierova řada v Hilbertově prostoru

Výše popsanou konstrukci lze zobecnit z případu prostoru $L^2[-\pi,\pi]$ s trigonometrickou soustavou na libovolný Hilbertův prostor. Dovolit dostat ortogonální systém v Hilbert prostoru a být libovolný prvek z . Předpokládejme, že chceme reprezentovat jako (nekonečnou) lineární kombinaci prvků : $\{\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...\}$ $H$ $F$ $H$ $F$ $\{\varphi_k\}$

f=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\varphi _{n}.

Vynásobme tento výraz číslem . Vezmeme-li v úvahu ortogonalitu systému funkcí , všechny členy řady zmizí, kromě členu v : $\varphi_k$ $\{\varphi_k\}$ $n=k$

(f,\varphi _{k})=c_{k}\|\varphi _{k}\|^{2}.

Čísla

{\displaystyle c_{k}={\frac {(f,\varphi _{k})}{\|\varphi _{k}\|^{2))))

se nazývají souřadnice nebo Fourierovy koeficienty prvku v systému a řada $F$ $\{\varphi_k\}$

\sum_k c_k \varphi_k

se nazývá Fourierova řada prvku v ortogonální soustavě . $F$ $\{\varphi_k\}$

Fourierova řada jakéhokoli prvku v nějakém ortogonálním systému konverguje v prostoru , ale její součet se nemusí nutně rovnat . Pro ortonormální systém v oddělitelném Hilbertově prostoru jsou ekvivalentní následující podmínky: $F$ $H$ $F$ ${\varphi_k}$

systém je základem , to znamená, že součet Fourierovy řady jakéhokoli prvku je roven tomuto prvku.
systém je úplný , to znamená, že neexistuje žádný nenulový prvek ortogonální ke všem prvkům současně. $H$ $\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...$
systém je uzavřený , to znamená pro všechny , Parsevalova rovnost $f\in H$

{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|c_{k}|^{2}=\|f\|^{2))

lineární kombinace prvků jsou prostorově husté . $\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...$ $H$

Pokud tyto podmínky nejsou splněny, pak se součet Fourierovy řady prvku rovná jeho ortogonálnímu průmětu na uzávěr lineárního rozpětí prvků . V tomto případě místo Parsevalovy rovnosti platí Besselova nerovnost : $F$ $\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...$

\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}^{2}\leqslant \|f\|^{2}.

Příklady

Goniometrické funkce tvoří základ Hilbertova prostoru . Pokud uvažujeme pouze kosinus nebo pouze sinus, pak takový systém již není úplný. Uzavřením lineárního rozsahu funkcí jsou všechny sudé funkce od , a uzavřením lineárního rozsahu funkcí jsou všechny liché funkce. Výsledkem rozšíření funkce do Fourierových řad v těchto systémech bude sudá a lichá část funkce : $\sin(kx)$ $\cos(kx)$ $L_2[-\pi,\pi]$ $\cos(kx)$ $L_{2}$ $\sin(kx)$ $F$ $F$

\sum \limits _{0}^{n}a_{k}\cos(kx)={\frac {f(x)+f(-x)}{2)),

\sum \limits _{1}^{n}b_{k}\sin(kx)={\frac {f(x)-f(-x)}{2)).

Ještě zajímavější situace nastává při zvažování systému . Tento systém opět nebude kompletní. Uzávěr jeho lineárního rozpětí je Hardyho prostor . Prvky tohoto prostoru jsou ty a pouze ty funkce , které mají tvar , kde jsou hraniční hodnoty nějaké funkce analytické v kruhu $\{e^{ikx}\}_{k=0}^{+\infty}$ $H_2$ $f\in L_2$ $f(t)=g(e^{it})$ $G$ $|z|<1.$

Pontrjaginova dualita

Při zobecnění teorie Fourierových řad na případ Hilbertových prostorů se ztrácejí vlastnosti vyjadřující souvislost Fourierových řad s konvolucí – skutečnost, že Fourierovy koeficienty konvoluce funkcí jsou termickým součinem jejich Fourierových koeficientů, a naopak. Fourierovy koeficienty součinu jsou reprezentovány konvolucí Fourierových koeficientů faktorů. Tyto vlastnosti jsou klíčem k aplikacím Fourierovy teorie k řešení diferenciálních , integrálních a dalších funkcionálních rovnic. Proto jsou velmi zajímavá taková zobecnění teorie Fourierových řad, při kterých jsou tyto vlastnosti zachovány. Takovým zobecněním je Pontrjaginova teorie duality. Bere v úvahu funkce definované na lokálně kompaktních abelovských skupinách . Analogem Fourierovy řady takové funkce je funkce definovaná na duální grupě.

Konvergence Fourierovy řady

Přehled výsledků konvergence Fourierovy řady

Označme dílčími součty Fourierovy řady funkce : $S_N(f;x)$ $f(x)$

S_N(f,x):=\součet\limity_{k=-N}^N\hat{f}_ke^{ikx}

Dále probereme konvergenci posloupnosti funkcí k funkci v různých významech. Předpokládá se, že funkce je -periodická (pokud je uvedena pouze na intervalu , lze v ní periodicky pokračovat). $S_N(f;x)$ $f(x)$ $F$ $2\pi$ $[-\pi,\pi]$

Jestliže , pak posloupnost konverguje k funkci ve smyslu . Navíc jsou nejlepší (z hlediska vzdálenosti v ) aproximace funkce trigonometrickým polynomem stupně nejvýše . $f\in L_2([-\pi,\pi])$ $S_N(f;x)$ $f(x)$ $L_{2}$ $S_N(f;x)$ $L_{2}$ $F$ $N$
Konvergence Fourierovy řady v daném bodě je lokální vlastností, to znamená, že pokud se funkce a shodují v určitém okolí , pak posloupnosti a buď divergují současně, nebo konvergují současně, v takovém případě se jejich limity shodují. (Princip lokalizace). $x_{0}$ $F$ $G$ $x_{0}$ $S_N(f;x_0)$ $S_N(g;x_0)$
Jestliže funkce je diferencovatelná v bodě , pak její Fourierova řada konverguje k v tom bodě . Přesnější dostatečné podmínky z hlediska plynulosti funkce dává Dini test . $F$ $x_{0}$ $f(x_{0})$ $F$
Funkce spojitá v bodě může mít Fourierovu řadu, která se v ní rozbíhá. Pokud však konverguje, pak všemi prostředky k . To vyplývá ze skutečnosti, že pro spojitou funkci posloupnost konverguje ve smyslu Cesàro k . $x_{0}$ $f(x_{0})$ $x_{0}$ $F$ $S_N(f;x_0)$ $f(x_{0})$
Pokud je funkce nespojitá v bodě , ale má limity v tomto bodě vpravo a vlevo, pak za určitých dalších podmínek konvergujte k . Podrobnosti viz upravený nápis Dini . $F$ $x_{0}$ $f(x_{0}+0)\neq f(x_{0}-0),$ $S_N(f;x_0)$ $(f(x_0+0)+f(x_0-0))/2$
Carlesonův teorém: jestliže , pak jeho Fourierova řada k němu konverguje téměř všude . To platí i v případě . Existují však funkce z , jejichž Fourierova řada se ve všech bodech rozchází (příklad takové funkce sestrojil Kolmogorov [11] ). $f\in L_2([-\pi,\pi])$ $f\in L_p([-\pi,\pi]), p>1$ $L_1([-\pi,\pi])$
Pojďme opravit bod . Pak množina všech spojitých funkcí, jejichž Fourierova řada v tomto bodě konverguje, je množinou první kategorie v prostoru . V jistém smyslu to znamená, že „typická“ spojitá funkce má divergentní Fourierovu řadu. $x_0\in(-\pi,\pi)$ $C([-\pi,\pi])$

Snížení Fourierových koeficientů a analyticita funkce

Mezi analytikou funkce a rychlostí poklesu jejích Fourierových koeficientů existuje zásadní souvislost. Čím „lepší“ funkce, tím rychleji mají její koeficienty tendenci k nule a naopak. Mocninný rozpad Fourierových koeficientů je vlastní funkcím třídy a exponenciální rozpad je vlastní analytickým funkcím . Příklady tohoto druhu připojení: $C^{(k)}$

Fourierovy koeficienty jakékoli integrovatelné funkce inklinují k nule ( Riemannovo-Lebesgueovo lemma ).
Pokud funkce patří do třídy , to znamená, že je časově diferencovatelná a její -tá derivace je spojitá, pak $F$ $C^{(k)}([-\pi,\pi])$ $k$ $k$ $\hat{f}_n=o\left(\frac{1}{n^k}\right)$
Pokud řada konverguje absolutně , pak se téměř všude shoduje s funkcí třídy pro všechny . $\součet n^{\alpha}\hat{f}_n$ $F$ $C^{(k)}([-\pi,\pi])$ $k<\alpha$
Pokud funkce patří do Hölderovy třídy s exponentem , pak řada konverguje absolutně ( Bernsteinova věta ). $\alpha>1/2$ $\součet \hat{f}_n$
Jestliže , pak goniometrická Fourierova řada konverguje k analytické funkci . $\hat{f}_n=O(a^n),0<a<1$

Viz také

Poznámky

↑ Matematický encyklopedický slovník . - M .: "Sovy. encyklopedie“ , 1988. - S. 619 .
↑ Fetter, Alexander L. Teoretická mechanika částic a kontinua / Alexander L. Fetter, John Dirk Walecka. - Kurýr, 2003. - S. 209-210. — ISBN 978-0-486-43261-8 . Archivováno 18. dubna 2021 na Wayback Machine
↑ Stillwell, Johne Logika a filozofie matematiky v devatenáctém století // Routledge History of Philosophy / Ten, CL. - Routledge , 2013. - T. Svazek VII: Devatenácté století. - S. 204. - ISBN 978-1-134-92880-4 . Archivováno16. května 2020 naWayback Machine
↑ Florian Cajori . Historie matematiky . - Macmillan, 1893. - S. 283.
↑ Lejeune-Dirichlet, Peter Gustav Sur la convergence des trigonometriques trigonometriques qui servent à représenter une function arbitraire entre des limites données (francouzsky) // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1829. - Sv. 4 . - S. 157-169 . - arXiv : 0806.1294 .
↑ Ueber die Darstellbarkeit einer Funkce durch eine trigonometrische Reihe (německy) ? . Habilitationsschrift , Göttingen ; 1854. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen , sv. 13, 1867. Posmrtně vydal pro Riemanna Richard Dedekind . Získáno 19. května 2008. Archivováno z originálu 20. května 2008. (neurčitý)
↑ Mascre, D. & Riemann, Bernhard (1867), Posthumous Thesis on the Representation of Functions by Trigonometric Series , in Grattan-Guinness, Ivor, Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940 , Elsevier, 2005 , < https://books .google.com/books?id=UdGBy8iLpocC >
↑ Remmert, Reinhold. Teorie komplexních funkcí: Čtení v matematice (anglicky) . - Springer, 1991. - S. 29. Archivováno 16. května 2020 na Wayback Machine
↑ Nerlove, Marc; Grether, David M.; Carvalho, Jose L. Analýza ekonomických časových řad. Ekonomická teorie, ekonometrie a matematická ekonomie (anglicky) . - Elsevier , 1995. - ISBN 0-12-515751-7 .
↑ Flugge, Wilhelme. Statik und Dynamik der Schalen (německy) . – Berlin: Springer-Verlag , 1957. Archivováno 14. května 2020 na Wayback Machine
↑ V. M. Tichomirov, V. V. Uspenskij . První Fieldsovi laureáti a sovětská matematika 30. let. I. - Matematika. osvícení, ser. 3, 2, MTsNMO, M., 1998, 21-40.

Literatura

Zhuk VV, Natanson GI Trigonometrické Fourierovy řady a prvky teorie aproximace. - L . : Nakladatelství Leningrad. un-ta, 1983. - 188 s.
Rudin U. Základy matematické analýzy. — 1976.
Piskunov N. S. Diferenciální a integrální počet pro VTUZ. - M .: "Nauka", 1964. - T. 2.
Sigmund A. Trigonometrické řady. - M .: "Mir", 1965. - T. 1.
Hardy G. Kh. , Rogozinsky V. V. Fourierova řada. — M .: Fizmatgiz , 1959.

Odkazy

Reprezentace periodických signálů. Fourierova řada . (neurčitý)
Některé vlastnosti expanze periodických signálů ve Fourierově řadě . (neurčitý)

Slovníky a encyklopedie

V bibliografických katalozích
BNE : XX540313 BNF : 11979488t J9U : 987007548250805171 LCCN : sh85051090 NDL : 00562088 NKC : ph135377

Sekvence a řádky
Sekvence	Číselná posloupnost Základní posloupnost Lineární rekurentní sekvence Fibonacciho čísla složená čísla Faktorový Barkerova sekvence sekvence de bruijn
Řádky, základní	Součet řádků Zbytek řady Podmíněná konvergence Střídavé série Vícesekce řádků
Číselné řady ( operace s číselnými řadami )	harmonická řada série Leibniz Řada inverzních čtverců Série recipročních prvočísel Řada Dirichlet série Mercator Řada Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funkční řádky	Taylorova řada série Laurent Fourierova řada Trigonometrické Fourierovy řady trigonometrická řada série Wiener
Jiné typy řádků	Neumannovy řady Řada Puiseux