Samovygenerovaná čísla jsou čísla, která nelze získat přidáním nějakého jiného čísla, nazývaného generátor, k součtu jeho číslic.
Zvažte proceduru, kterou Kaprekar nazývá sčítání číslic . Zvolme libovolné celé číslo a přičtěme k němu součet jeho cifer. Zvolíme-li například číslo 47, pak součet jeho číslic je 4 + 7 = 11 a 47 + 11 = 58. Novému číslu 58 se říká vygenerované číslo a původnímu číslu 47 jeho generátor . Proces lze opakovat donekonečna a vytvořit sekvenci generovanou digitálním sčítáním 47, 58, 71, 79, ...
Nerekurzivní vzorec pro částečný součet členů této posloupnosti není znám, ale existuje jednoduchý vzorec pro součet cifer všech čísel v ní: odečtěte první číslo od posledního a sečtěte součet posloupnosti. číslice posledního čísla.
Generovaná čísla mohou mít více než jeden generátor. Nejmenší číslo s více než jedním generátorem (Kaprekar nazývá taková čísla složené ) je 101 a má dva generátory: 91 a 100. Nejmenší složené číslo se třemi generátory je 10 000 000 000 001 a je generováno čísly 10 000 000 000 009 a 999 99 9 999 999 999 892. Nejmenší číslo se čtyřmi generátory, objevené Kaprekarem 7. června 1961 , má 25 číslic: 10 24 + 102. Nejmenší čísla s n=2, 3, ... generátory tedy tvoří posloupnost:
101, 10000000000001, 100000000000000000000102, … (sekvence A006064 v OEIS )Kaprekarovi se také podařilo objevit, jak naznačuje, nejmenší číselná spojení s 5 a 6 generátory.
Samogenerované číslo je číslo, které nemá generátor, slovy Kaprekara, „generuje se samo“. Samogenerovaných čísel je nekonečně mnoho, ale jsou mnohem vzácnější než vygenerovaná čísla. Samovygenerovaná čísla tvoří sekvenci:
1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, … (sekvence A003052 v OEIS )Jednoduchá samogenerovaná čísla se nazývají samo- prvočísla . Známé „cyklické“ číslo 142 857 (při vynásobení čísly od 1 do 6 dostanete vždy součin napsaný se stejnými 6 číslicemi, pouze přeskupenými v cyklickém pořadí) patří k počtu samostatně vygenerovaných čísel. Samovygenerovaná čísla jsou také čísla jako 11 111 111 111 111 111 111 a 3 333 333 333.
Některé mocniny čísla 10 se generují samy. Číslo 10 je generováno číslem 5, číslo 100 číslem 86, 1000 číslem 977, 10 000 číslem 9968 a 100 000 číslem 99959. 1 000 000 je samovygenerované číslo a mocnina za milionem desítek, což je samovygenerované číslo, je 10 16 .
Dosud nebylo možné najít nerekurzivní vzorec, který by vám umožnil získat všechna samostatně vygenerovaná čísla, ale existuje jednoduchý algoritmus, který vám umožní zkontrolovat, zda se u libovolného čísla samogenerovalo (to znamená, zda dané číslo se generuje samo).
Samogenerovaná čísla poprvé popsal v roce 1949 indický matematik D. R. Kaprekar , který jim věnoval několik knih. Samogenerovaná čísla nebyla mimo Indii dlouho známá , až v roce 1974 se o nich (pod jiným názvem) objevil článek v časopise American Mathematical Monthly , [1] ve kterém bylo prokázáno, že existuje nekonečno počet samostatně vygenerovaných čísel.
Ve druhém svazku „ Dětské encyklopedie “ (SSSR), věnovaném matematice, je článek o samostatně generovaných číslech, kde se jim říká „nugetová čísla“. [2]