Oddělitelný nástavec

Oddělitelné rozšíření je algebraické rozšíření pole sestávající z oddělitelných prvků, tj. prvků, nad nimiž minimální anihilátor nemá více kořenů. Derivace tedy musí být nenulový polynom. Podle definice jsou všechna pole charakteristiky 0 separovatelná, takže pojem separability je netriviální pouze pro pole s nenulovou charakteristikou . $E \supset K$ $\alpha$ $f(x)$ $K$ $f'(x)$ $p$

Pro konečná rozšíření platí následující tvrzení: if , kde je algebraický uzávěr pole , pak je oddělitelné právě tehdy, když počet různých izomorfismů pole do algebraického uzávěru přes je roven stupni . V případě neoddělitelných rozšíření je toto číslo dělitel a nazývá se oddělitelná mocnina (podíl je roven nějaké mocnině charakteristiky). $K \subset E \subset K^*$ $K^{*}$ $K$ $E$ $\sigma$ $E$ $K^{*}$ $K$ $[E:K]$ $[E:K]$ $[E:K]_s$

Vlastnosti oddělitelných přípon

Pokud jsou přípony a oddělitelné, pak je oddělitelné také rozšíření. Naopak, pokud jsou oddělitelné, pak a jsou oddělitelné. $E \supseteq K$ $F \supseteq E$ $F \supseteq K$ $F \supseteq K$ $E \subseteq K$ $F \subseteq E$

Pokud je přípona oddělitelná, pak pro jakékoli rozšíření (pokud jsou obsaženy v nějakém poli) je složený z polí oddělitelným rozšířením . $E \supseteq K$ $F \supseteq K$ $F$ $E$ $EF$ $K$

Věta o primitivním prvku : jestliže , kde je algebraický (i když ne nutně oddělitelný) přes , a jsou algebraické a oddělitelné, pak existuje prvek (nazývaný primitivní prvek) takový, že . $E=K(\alpha_1, \alpha_2, \tečky, \alpha_n)$ $\alpha_{1}$ $K$ $\alpha_2, \tečky, \alpha_n$ $\theta$ $E=K(\theta)$

Zobecnění oddělitelnosti na nealgebraická rozšíření

Rozšíření se nazývá lineárně bez , pokud nějaká konečná množina prvků lineárně nezávislých na zůstává lineárně nezávislá na . Tato definice je symetrická: jestliže lineárně volný od přes , pak naopak, lineárně volný od přes . $E \supseteq K$ $L \supseteq K$ $E$ $K$ $L$ $E$ $L$ $K$ $L$ $E$ $K$

Rozšíření (ne nutně algebraické) přes pole je řekl, aby byl oddělitelný jestliže, pro některé přirozené, to je lineárně volné od rozšíření generovaného přidáním všech kořenů stupně z prvků . Pro algebraická rozšíření je tato definice ekvivalentní té obvyklé. Tato definice nezávisí na volbě čísla a je ekvivalentní lineární svobodě od – složené ze všech ( McLaneovo kritérium ). $E$ $K$ $m$ $K^{p^{-m}}$ $p^{m}$ $K$ $m$ $E$ $K^{p^{-\infty}}$ $K^{p^{-m}}$

Literatura

Van der Waerden B. L. Algebra. — M .: Nauka, 1975.
Zarissky O. , Samuel P. Komutativní algebra. - M . : Zahraniční literatura, 1963. - T. 1.
Leng S. Algebra. — M .: Mir, 1967.