Oddělitelný polynom

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 20. října 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Oddělitelný polynom je polynom nad polem , jehož neredukovatelné faktory nemají více kořenů v algebraickém uzavření pole . $K$ $K$

Existuje také alternativní definice, v podstatě blízká, ale ne ekvivalentní v obecném případě: polynom je oddělitelný, pokud nemá společné kořeny se svou formální derivací . To znamená, že samotný polynom (a nejen jeho neredukovatelný nad faktory) nemá v algebraickém uzávěru žádné vícenásobné kořeny. Zejména pro ireducibilní polynomy jsou obě definice ekvivalentní. $P$ $P'$ $P$ $K$

Neredukovatelné polynomy nad dokonalými tělesy jsou vždy oddělitelné — což zahrnuje zejména všechna tělesa charakteristické nuly a také všechna konečná tělesa .

Protože neredukovatelný polynom je (podle Euklidova algoritmu ) shodný se všemi polynomy nižšího stupně, může být neoddělitelný pouze tehdy, je-li jeho derivace nulová. Neoddělitelnost je tedy jev, který se projevuje pouze pozitivní charakteristikou: u neredukovatelného neoddělitelného polynomu musí k zobrazení dojít: $P$

P(X)=Q(X^{p})

kde je také neredukovatelný polynom a je charakteristikou oboru. Na základě toho je snadné sestavit příklad neoddělitelného polynomu, například toto je polynom: $Q$ $p$

P(X)=X^{p}-T

nad polem racionálních funkcí jedné proměnné nad polem prvků . Při přechodu na algebraické rozšíření (nebo jednoduše při spojování pole ): $K=\mathbb {F} _{p}(T)$ $T$ $p$ $\mathbb {F} _{p}$ ${\displaystyle T^{1/p))$ $K$

{\displaystyle P(X)=X^{p}-(T^{1/p})^{p}=(XT^{1/p})^{p))

jinými slovy, je (unikátní) kořen mnohosti . ${\displaystyle T^{1/p))$ $p$