Symetrický polynom

Symetrický polynom je polynom v proměnných , který se nemění se všemi permutacemi jeho základních proměnných . Takže pro polynom dvou proměnných to znamená ; příklady symetrických dvouproměnných polynomů jsou , a . $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $n$ $x_{i}$ $f(x,y)$ $f(x,y)=f(y,x)$ $x+y$ $xy$ $x^{2}+y^{2}$

Základní typy

Často se používá několik posloupností polynomů ( -tý polynom je v proměnných), takže předchozí se získají z následujících dosazením nul do proměnných navíc: $f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $n$ $n$

f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n-1},0)=f_{n-1}(x_{1},\ldots ,x_{n-1})

Proto se takové polynomy označují bez uvedení počtu proměnných: nebo , kde není index uvnitř sekvence, ale způsob číslování takových sekvencí. Například součty mocnin stupně jsou polynomy $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $f_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $k$ $p_{k}$ $k$

p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}=x_{1}^{k }+\ldots +x_{n}^{k}

Někdy je vhodné specifikovat tyto posloupnosti symetrických polynomů pomocí generujících funkcí : pro posloupnost symetrických polynomů je takovou generující funkcí mocninná řada $f_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})$

F(t;x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{k}f_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{k}

z proměnných. Například elementární (nebo základní) symetrické polynomy stupně jsou součty všech možných monomií stupně bez opakujících se proměnných; jsou dány vzorcem $(n+1)$ ${\displaystyle \sigma _{k))$ $k$ $k$

\sigma _{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{1\leq j_{1}<\ldots <j_{k}\leq n}x_{j_ {1}}\cdot \ldots \cdot x_{j_{k}}

nebo generující funkce

\Sigma (t;x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{k=0}^{\infty }\sigma _{k}(x_{1},\ldots, x_{n})t^{k}=(1+tx_{1})\cdot \ldots \cdot (1+tx_{n})

Zejména,

{\begin{array}{rcl}\sigma _{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&x_{1}+x_{2}+\ cdots +x_{n}\\\sigma _{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&{x_{1}}{x_{2}}+{ x_{1}}{x_{3}}+\cdots +{x_{n-1}}{x_{n}}\\&\cdots &\\\sigma _{n-1}(x_{1} ,x_{2},\ldots ,x_{n})&=&{x_{1}}{x_{2}}\ldots {x_{n-1}}+{x_{1}}{x_{2 }}\ldots {x_{n-2}}{x_{n}}+\cdots +{x_{2}}{x_{3}}\ldots {x_{n}}\\\sigma _{n} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&{x_{1}}{x_{2}}\ldots {x_{n}}\\\end{array}}

Předpokládá se, že polynom je roven , a polynomy at se rovnají . $\sigma _{0}$ $jeden$ ${\displaystyle \sigma _{k))$ $k>n$ $0$

Další příklad, kompletní symetrické polynomy stupně jsou součty všech monomií stupně , bez omezení na opakování proměnných; jsou dány vzorcem ${\displaystyle h_{k))$ $k$ $k$

h_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i_{1}+\ldots +i_{n}=k}x_{1}^{i_{1 }}\cdot \ldots \cdot x_{n}^{i_{n}}

nebo generující funkce

H(t;x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{k=0}^{\infty }h_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n })t^{k}=(1-tx_{1})^{-1}\cdot \ldots \cdot (1-tx_{n})^{-1}

Pro teorii reprezentací symetrických grup jsou důležité Schurovy polynomy - symetrické polynomy parametrizované dělením na sumu nezáporných přirozených čísel. Schurův polynom stupně odpovídající rozdělení je [1] $d$ $d=d_1+\tečky+d_n, \quad d_1\ge \tečky\ge d_n\ge 0,$

s_{(d_{1},\tečky ,d_{n})}(x_{1},\tečky ,x_{n})={\frac {\det(x_{i}^{d_{ j}+nj})_{i,j=1}^{n}}{\det(x_{i}^{nj})_{i,j=1}^{n}}}

Dalším příkladem je diskriminační polynom

{\displaystyle D(f)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2))

kde jsou kořeny nějakého polynomu v jedné proměnné: . $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ ${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n))$

Základní věta teorie symetrických polynomů

Základní věta teorie symetrických polynomů říká, že jakýkoli symetrický polynom může být vyjádřen jedinečným způsobem jako polynom v elementárních symetrických polynomech. Jinými slovy, pro jakýkoli symetrický polynomexistuje (obvykle nesymetrický) polynomtakový, že $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $g(y_{1},\ldots ,y_{n})$

f(x_{1},\ldots ,x_{n})=g(\sigma _{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\ldots ,\sigma _{n }(x_{1},\ldots ,x_{n}))

to je, oni jsou se rovnat polynomials v , a takový polynomial je jedinečný. $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $g(y_{1},\ldots ,y_{n})$

Jinými slovy, elementární symetrické polynomy jsou algebraicky nezávislé a tvoří základ pro algebru symetrických funkcí : kruh symetrických funkcí je izomorfní s kruhem. ${\displaystyle k[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]^{S))$ $k[\sigma _{1},\sigma _{2},\ldots ,\sigma _{n}]$

Podobná věta platí také pro úplné symetrické polynomy.

Determinantní vzorce

Generující vzorce elementárních a úplných symetrických polynomů spolu souvisí vztahy , které se rozšiřují do vzorců $\Sigma (t)\cdot H(-t)=1$

\sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}\sigma _{r}h_{nr}=0\quad (n>1)

které vyjadřují elementární symetrické polynomy z hlediska předchozích elementárních a z hlediska všech úplných. Konečný vzorec vypadá takto [2]

\sigma _{k}={\begin{vmatrix}h_{1}&1&0&\ldots &0\\h_{2}&h_{1}&1&\ldots &0\\\ldots &\ldots &\ldots &\ ldots &\ldots \\h_{k-1}&h_{k-2}&h_{k-3}&\ldots &1\\h_{k}&h_{k-1}&h_{k-2}&\ldots &h_ {1}\end{vmatrix}}

;

podobný vzorec pro vyjádření součtu pomocí symetrických získáme substitucí a bez dalších změn. $\sigma$ $h$

Viz také

Poznámky

↑ A. Okounkov, G. Olshansky, " Shifted Schur functions ", Algebra i Analiz , 9 :2 (1997), 73-146
↑ Prasolov, 2003 , s. 93.

Odkazy

V. G. Boltyansky , N. Ya. Vilenkin . Symetrie v algebře . - M. : MTSNMO, 2002. - 240 s. - 2000 výtisků. - ISBN 5-94057-041-0 .
V. V. Prasolov . Polynomy . - M. : MTSNMO, 2003. - S. 91-99. — 335 s. — ISBN 5-94057-077-0 .
Z. B. Reichstein. Newtonovy identity a matematická indukce // Matematické vzdělávání . - 2000. - Vydání. 4 . — S. 204–205 .