Náhodná sada

Náhodná množina je měřitelné zobrazení rodiny elementárních výsledků libovolného pravděpodobnostního prostoru do nějakého prostoru , jehož prvky jsou množiny . $K$ $(\Omega ,{\mathcal {A}),\mathbf {P} )$ ${\mathcal {M}}$

Existují různé definice pojmu. Náhodná množina v závislosti na struktuře množiny hodnot. Je-li tedy topologický prostor , pak měřitelnost je chápána v Borelově smyslu. Nejběžnější případy jsou: ${\mathcal {M}}$

${\mathcal {M}}={\mathcal {F}}$ - topologický prostor uzavřených množin (nějakého topologického prostoru zvaného báze), pak náhodná množina je náhodná uzavřená množina; $S$
${\mathcal {M}}={\mathcal {O}}$ je topologický prostor otevřených množin, pak S.m. existuje náhodná otevřená množina;
${\mathcal {M}}={\mathcal {H}}$ — topologický prostor dvojic (vnitřek množiny, uzavření množiny); zde se dostáváme k tzv. náhodným fyzikálně odlišným množinám [1]
${\mathcal {M}}={\mathcal {K}}$ je topologický prostor kompaktních množin, v tomto případě je získána náhodná kompaktní množina ;
${\mathcal {M}}={\rm {conv}}({\mathcal {K}})$ je podprostor konvexních prvků , čímž se získá náhodná konvexní množina. $\mathcal{K}$

Pro upřesnění rozdělení náhodné uzavřené množiny se používá doprovodná funkcionalita, pomocí které je vhodné popsat mnoho vlastností náhodné množiny. Teorie náhodných otevřených, kompaktních a fyzikálně odlišných množin je získána z teorie náhodných uzavřených množin pomocí standardních reformulací.

K vyřešení některých problémů postačí použít hodnoty doprovodného funkcionálu na konečných množinách – tzv. zákon bodového rozdělení náhodné množiny, který v obecném případě jednoznačně neurčuje rozdělení náhodné množiny. Existuje však třída oddělitelných náhodných množin, pro které bodový zákon zcela definuje rozdělení: jedná se o náhodnou množinu s vlastností , kde je spočetné a všude husté v . $K$ $K={\overline {K\cap D))$ $D$ $S$

Důležité speciální třídy náhodné množiny jsou náhodné nekonečně dělitelné množiny, náhodné Gaussovy množiny, náhodné izotropní množiny, náhodné semi-Markovovy množiny, náhodné stacionární množiny, náhodné stabilní množiny.

Existují další způsoby, jak definovat náhodnou množinu, které nevyžadují předběžnou (základní) topologii; nejvýznamnější z nich: Kendallova metoda, založená na konceptu „pastí“ [2] ; metoda redukce na náhodné funkce (např. podpůrné funkce v případě konvexnosti množin); metoda využívající Kolmogorov-Hammingovu metriku (míra symetrického rozdílu množin).

Nejrozvinutější úseky teorie S.m. jsou limitní věty pro náhodné množiny a také různé definice a metody pro výpočet numerických charakteristik a množinových charakteristik rozdělení S.m. (Průměrné sady, Set-mean, Set-medián, Set-očekávání atd.).

Poznámky

↑ Matheron, J. (1978) Náhodné množiny a integrální geometrie, přel. z angličtiny, M.: Mir.
↑ Kendall DG (1974) v Stochastic geometry, NY

Literatura

Choquet G. (1953-54) "Ann.Inst.Fourier", sv. 5, str. 131-295;
Ljašenko N. N. (1999) Náhodný soubor. Pravděpodobnost a matematická statistika. Encyklopedie. Ch. vyd. Yu V. Prochorov. M.: BRE.