Einsteinova konvence

V tenzorové analýze , zejména v jejích aplikacích na obecnou relativitu , elasticitu a diferenciální geometrii , při psaní výrazů z vícesložkových veličin číslovaných horními a dolními indexy ( tensory ), je vhodné použít pravidlo zvané Einsteinova konvence (známá také jako „ Einsteinovo sčítací pravidlo "): pokud se stejné písmeno v označení indexu vyskytuje v monomiálu jak nahoře, tak dole, pak se předpokládá, že takový monomial je sečten přes všechny hodnoty, které tento index může nabývat. Například ve výrazu

v_k=a_ib^i_k

index se vyskytuje nad i pod, takže tento výraz je považován za ekvivalent součtu $i$

v_k=\sum_i{a_ib^i_k}.

Přesněji

v_k=\sum_{i=1}^n a_ib^i_k,

kde je rozměr prostoru, na kterém jsou definovány a (zde se předpokládá, že číslování souřadnic začíná od jedné). $n$ $A$ $b$

Index, nad kterým se provádí sumace, se nazývá mute ; může být nahrazeno libovolným písmenem, přičemž hodnota výrazu, do kterého vstupuje, se nemění (samozřejmě ). Pokud index není němý ( volný index), musí se nacházet na stejné pozici v obou částech (ne)rovnosti; ve skutečnosti je v tomto případě jeden výraz soustavou výrazů (rovnic nebo nerovnic), jejichž počet je roven n s , kde s je počet volných indexů. Pokud je například rozměr n = 4 , pak výraz ${\displaystyle a_{i}b^{i}\equiv a_{j}b^{j))$

r_{lk}=p_{li}q_{k}^{i}

se dvěma volnými indexy k a l je zkrácený zápis 4 2 = 16 rovností, z nichž na pravé straně je součet čtyř součinů:

r_{11}=p_{11}q_{1}^{1}+p_{12}q_{1}^{2}+p_{13}q_{1}^{3}+p_{14 }q_{1}^{4};

r_{12}=p_{11}q_{2}^{1}+p_{12}q_{2}^{2}+p_{13}q_{2}^{3}+p_{14 }q_{2}^{4};

...

r_{44}=p_{41}q_{4}^{1}+p_{42}q_{4}^{2}+p_{43}q_{4}^{3}+p_{44 }q_{4}^{4}.

V případě použití výrazů ve formě zlomků, jako jsou parciální derivace, jsou horní indexy zapsané ve jmenovateli považovány za dolní indexy pro aplikaci pravidla a naopak; například výraz

\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i))}dx_{i},

se píše ve tvaru

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i))}dx_{i))

nebo v ještě jednodušší formě, kdy čárka před indexem označuje částečné rozlišení vzhledem k odpovídající souřadnici:

f^{,i}dx_{i}.

V některých případech [1] (pokud se vždy předpokládá, že metrický tenzor je roven δ ik ), horní a dolní indexy ve vzorcích nejsou rozlišovány. V tomto případě se sumace provádí přes libovolnou dvojici opakujících se indexů vyskytujících se ve stejném součinu tenzorů. Například v trojrozměrném euklidovském prostoru $\mathbb {R} ^{3}$

D_{\alpha \beta }n_{\alpha }=\sum _{\alpha =1}^{3}D_{\alpha \beta }n_{\alpha }.

Pomocí standardní Einsteinovy konvence by se mělo psát . $D^{\alpha}_{\beta}n_\alpha$

Poznámky

↑ Například v teorii pružnosti. Viz L. D. Landau a E. M. Lifshitz, Theoretical Physics. T. VII. Teorie pružnosti. — M .: Nauka, 1987.