Seznam integrálů elementárních funkcí

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 6. září 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Integrace je jednou ze dvou základních operací v počtu . Na rozdíl od operace derivace nemusí být integrál elementární funkce elementární funkcí. Například z Liouvilleovy věty vyplývá, že integrál není elementární funkcí. Tabulky známých primitivních funkcí jsou často velmi užitečné, i když nyní s příchodem systémů počítačové algebry ztrácejí na významu. Tato stránka obsahuje seznam nejčastěji se vyskytujících primitiv. $e^{x^2}$

$C$ používá se jako libovolná integrační konstanta, kterou lze určit, pokud je známa hodnota integrálu v určitém bodě. Každá funkce má nekonečný počet primitivních funkcí.

Pravidla pro integraci funkcí

\int Cf(x)\,dx=C\int f(x)\,dx

\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx

\int f(x)g(x)\,dx=f(x)\int g(x)\,dx-\int \left(\int g(x)\,dx\right)\, df(x)

\int f(ax+b)\,dx = {1 \over a} F(ax+b)\,+C

Integrály elementárních funkcí

Racionální funkce

\int \!0\,dx=C

(první derivace nuly je konstanta; v jakémkoli rozsahu integrace je integrál nuly roven nule)

\int \!a\,dx=ax+C

\int \!x^{n}\,dx={\begin{cases}{\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C,&n\neq -1\\ \ln \left|x\right|+C,&n=-1\end{cases}}

\int\!{dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\,\jméno operátora{arctg}\,\frac{x}{a} + C = - {1 \over a}\,\jméno operátora{arcctg}\,\frac{x}{a} + C

Důkaz

Udělejme náhradu , dostaneme $x=a\operatorname {tg} t$

$\int \!{dx \over {a^{2}+x^{2}}}=\int \!{d(a\jméno operátora {tg} t) \over a^{2}+( a\operatorname {tg} t)^{2}}={1 \over a}\int \!{\cos ^{2}t \over \cos ^{2}t}dt={t \over a} +C={1 \over a}\operatorname {arctg} {x \over a}+C.$

\int\!{dx \over {x^2-a^2}} = {1 \over 2a}\ln \left|{xa \over {x+a}}\right| + C

("vysoký logaritmus")

Logaritmy

\int\!\ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C

\int \frac{dx}{x\ln x} = \ln|\ln x|+ C

\int\!\log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C = x\frac{\ln {x} - 1}{\ln b} + C

Exponenciální funkce

\int\!e^x\,dx = e^x + C

\int\!a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C

Iracionální funkce

\int\!{dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin {x \over a} + C

\int\!{-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arccos {x \over a} + C

\int\!{dx \over x\sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a}\,\název operátora{arcsec}\,{|x| \přes a} + C

\int \!{dx \over {\sqrt {x^{2}\pm a^{2))))=\ln \left|{x+{\sqrt {x^{2}\pm a ^{2}}}}\right|+C

("dlouhý logaritmus")

\int \!{\sqrt {x^{2}+a^{2))}\,dx={1 \over 2}({x}{\sqrt {x^{2}+a^ {2}}}+{a}\ln |x+{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}|)+C

Důkaz

Předpokládejme také, že . Použijme hyperbolické funkce , proveďte substituci $a<0$ $x\geq 0$ $x={\sqrt {-a}}\jméno operátora {ch} t,t\geq 0$

${\begin{aligned}\int \!{\sqrt {x^{2}+a}}dx&=\int {\sqrt {({\sqrt {-a}}\operatorname {ch} t) ^{2}+a}}d({\sqrt {-a}}\operatorname {ch} t)=-a\int {\sqrt {\operatorname {ch} ^{2}t-1}}\operatorname {sh} tdt\\&=-a\int \operatorname {sh} ^{2}tdt=-a\int {\operatorname {ch} 2t-1 \over 2}dt={-a \over 2}\ left({\operatorname {sh} 2t \over 2}-t\right)+C_{1}\\&={-a \over 2}(\operatorname {sh} t\operatorname {ch} tt)+C_ {1}\end{aligned}}$

Ale

$\operatorname {sh} t={\sqrt {\operatorname {ch} ^{2}-1}}={\sqrt {{x^{2} \over -a}-1}}={{ \sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}},$ $\operatorname {sh} t\operatorname {ch} t=x({\sqrt {x^{2}+a}} \over -a},$ $e^{t}=\jméno operátora {sh} t+\jméno operátora {ch} t={x+{\sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}}.$

Proto

$t=\ln {x+{\sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}}.$

Tedy včetně logaritmu jmenovatele posledního zlomku v konstantě C dostaneme

$\int \!{\sqrt {x^{2}+a}}\,dx={x \over 2}{\sqrt {x^{2}+a}}+{a \over 2} \ln |x+{\sqrt {x^{2}+a}}|+C$

Jestliže , pak substitucí redukujeme integrál na již uvažovaný případ. Jestliže , pak provedeme náhradu a provedeme uvažování podobné uvažovanému případu [1] . $x<0$ $x=-t,t>0$ $a>0$ $x={\sqrt {a}}\jméno operátora {sh} t$

Goniometrické funkce

\int\!\sin{x}\, dx = -\cos{x} + C

\int\!\cos{x}\, dx = \sin{x} + C

\int\!\operatorname{tg}\, {x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C

Důkaz

$\int \!\operatorname{tg}\, {x} \, dx = \int \frac {\sin x} {\cos x} dx= - \int \frac {d (\cos x) } {\cos x} = - \ln | \cos x | + C$

\int\!\operatorname{ctg}\, {x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C

Důkaz

$\int \!\operatorname{ctg}\, {x} \, dx = \int \frac {\cos x} {\sin x} dx= \int \frac {d (\sin x) } {\sin x } = \ln | \sin x | + C$

\int\!\sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \operatorname{tg}\,{x}\right|} + C

\int \!\operatorname {cosec} {x}\,dx=-\ln {\left|\operatorname {cosec} {x}+\operatorname {ctg} \,{x}\right|}+ C

\int\!\sec^2 x \, dx = \int\!{dx \over \cos^2 x} = \operatorname{tg}\,x + C

\int \!\operatorname {cosec} ^{2}x\,dx=\int \!{dx \over \sin ^{2}x}=-\operatorname {ctg} \,x+C

\int\!\sec{x} \, \operatorname{tg}\,{x} \, dx = \sec{x} + C

\int \!\operatorname {cosec} {x}\,\operatorname {ctg} \,{x}\,dx=-\operatorname {cosec} {x}+C

\int\!\sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C

\int\!\cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C

\int\!\sin^nx \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int\ !\sin^{n-2}{x} \, dx, n\in\mathbb{N}, n\geqslant 2

\int\!\cos^nx \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int\! \cos^{n-2}{x} \, dx, n\in\mathbb{N}, n\geqslant 2

\int\!\operatorname{arctg}\,{x} \, dx = x \, \operatorname{arctg}\,{x} - \frac{1}{2}\ln{\left( 1 + x^ 2 \vpravo)} + C

Hyperbolické funkce

\int \operatorname{sh}\,x \, dx = \operatorname{ch}\,x + C

\int \operatorname{ch}\,x \, dx = \operatorname{sh}\,x + C

\int \frac{dx}{\operatorname{ch}^2\,x} = \operatorname{th}\,x + C

\int \frac{dx}{\operatorname{sh}^2\,x} = - \operatorname{cth}\,x + C

\int \operatorname{th}\,x \, dx = \ln |\operatorname{ch}\,x| + C

\int \operatorname{csch}\,x \, dx = \ln\left| \operatorname{th}\,{x \over2}\right| + C

\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\operatorname {arctg} \,\operatorname {sh} \,x+C

taky

\int \operatorname{sech}\,x \, dx = 2\, \operatorname{arctg}\, (e^x) + C

taky

\int \operatorname{sech}\,x \, dx = 2\, \operatorname{arctg} \, \left(\operatorname{th}\, \frac{x}{2}\right) + C

\int \operatorname{cth}\,x \, dx = \ln|\operatorname{sh}\,x| + C

Důkaz

Důkaz vzorce : $\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\operatorname {arctg} \operatorname {sh} \,x+C$

\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\int {dx \over \operatorname {ch} x}=\int {\operatorname {ch} x \over \operatorname {ch} ^{2 }x}dx=\int {d(\operatorname {sh} x) \over 1+\operatorname {sh} ^{2}x}=\operatorname {arctg} \operatorname {sh} x+C

Důkaz vzorce : . $\int \operatorname{sech}\,x \, dx = 2\operatorname{arctg}(e^x) + C$ $\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\int {dx \over \operatorname {ch} x}=2\int {dx \over e^{x}+e^{-x} }=2\int {d{e^{x}} \over 1+e^{2x}}=2\jméno operátora {arctg} (e^{x})+C$

Důkaz vzorce : $\int \operatorname{sech}\,x \, dx = 2\, \operatorname{arctg}\,\left(\operatorname{th}\, \frac{x}{2}\right) + C$

{\begin{aligned}\int \operatorname {sech} \,x\,dx&=\int {1 \over \operatorname {ch} x}dx=\int {dx \over \operatorname {sh} ^ {2}{x \over 2}+\operatorname {ch} ^{2}{x \over 2}}=2\int {d({x \over 2}) \over \operatorname {ch} ^{2 }{x \over 2}(1+\operatorname {th} ^{2}{x \over 2})}\\&=2\int {d(\operatorname {th} {x \over 2}) \ nad 1+\jméno operátora {th} ^{2}{x \over 2}}=2\,\jméno operátora {arctg} \,\left(\jméno operátora {th} \,{\frac {x}{2}} \right)+C\end{aligned}}

Speciální funkce

\int \operatorname {Ci} (x)\,dx=x\operatorname {Ci} (x)-\sin x

\int \operatorname {Si} (x)\,dx=x\operatorname {Si} (x)+\cos x

\int \operatorname {Ei} (x)\,dx=x\operatorname {Ei} (x)-e^{x}

\int \operatorname {li} (x)\,dx=x\operatorname {li} (x)-\operatorname {Ei} (2\ln x)

\int {\frac {\operatorname {li} (x)}{x}}\,dx=\ln x\,\operatorname {li} (x)-x

\int \operatorname {erf} (x)\,dx={\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+x\operatorname {erf} (x )

Poznámky

↑ Vinogradova I.A., Olehnik S.N., Sadovničij V.A. Úlohy a cvičení v matematické analýze. Ve 2 knihách. Rezervovat. 1 / Ed. V.A. Sadovnichy. - 2. vyd. - M .: Vyšší škola , 2000. - S. 187. - ISBN 5-06-003768-1 .

Bibliografie

knihy

Gradshtein I. S., Ryzhik I. M. Tabulky integrálů, součtů, řad a součinů. - 4. vyd. - M .: Nauka, 1963. - ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
Dvait G. B. Tabulky integrálů Petrohrad: Nakladatelství a tiskárna JSC VNIIG im. B. V. Vedeneeva, 1995. - 176 s. — ISBN 5-85529-029-8 . // EqWorld
D. Zwillinger. CRC Standardní matematické tabulky a vzorce , 31. vydání, 2002. ISBN 1-58488-291-3 .
M. Abramowitz a I. A. Stegun, ed. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami , 1964. ISBN 0-486-61272-4
Korn G. A., Korn T. M. Příručka matematiky pro vědce a inženýry . - M .: " Nauka ", 1974.

Tabulky integrálů

Výpočet integrálů

Seznamy integrálů podle typů funkcí
Základní Racionální iracionální trigonometrický zvrátit hyperbolický zvrátit exponenciální logaritmické funkce