Superintegrovatelný Hamiltonův systém

V matematice je superintegrovatelný hamiltonovský systém hamiltonovský systém na -rozměrné symplektické varietě , který splňuje následující podmínky: $2n$ $Z$

(i) Existují nezávislé integrály pohybu . Jejich zarovnané povrchy (invariantní podmanifoldy) tvoří vláknité manifoldy nad připojenou otevřenou podmnožinou . $k>n$ $F_{i}$ $F:Z\to N=F(Z)$ ${\displaystyle N\subset \mathbb {R} ^{k))$

(ii) Existují hladké reálné funkce na takových, že Poissonovy závorky integrálů pohybu mají tvar . $s_{ij}$ $N$ $\{F_{i},F_{j}\}=s_{ij}\circ F$

(iii) Matice má konstantní korek na . $s_{ij}$ $m=2n-k$ $N$

Jestliže , pak je to případ zcela integrovatelného hamiltonovského systému. Mishchenko-Fomenko teorém pro superintegrabilní Hamiltonovské systémy zobecňuje Liouville-Arnold teorémy o proměnných akčních úhlů následujícím způsobem . $k=n$

Nechť jsou invariantní podvariety superintegrovatelného hamiltonovského systému spojené, kompaktní a vzájemně difeomorfní. Potom je vláknitým potrubím svazek tori . Pro dané vlákno existuje jeho otevřené sousedství , což je triviální svazek vybavený zobecněnými souřadnicemi akčních úhlů po vrstvách , , , které jsou souřadnicemi na . Tyto souřadnice jsou kanonické souřadnice na symplektické manifoldu . Navíc Hamiltonián superintegrovatelného systému závisí pouze na akčních proměnných , což jsou Casimirovy funkce koindukované Poissonovy struktury na . $F$ ${\displaystyle T^{m))$ $M$ $U$ $(I_{A},p_{i},q^{i},\phi ^{A})$ $A=1,\ldots ,m$ $i=1,\ldots ,nm$ $(\phi ^{A})$ ${\displaystyle T^{m))$ $U$ $IA}$ $F(U)$

Liouville-Arnoldova věta pro zcela integrovatelné systémy a Mishchenko-Fomenko věta pro superintegrovatelné systémy byly zobecněny na případ nekompaktních invariantních podvariet. Jsou difeomorfní k toroidním válcům . ${\displaystyle T^{mr}\times \mathbb {R} ^{r))$

Literatura

Mishchenko, A., Fomenko, A. , Zobecněná Liouvilleova metoda integrace hamiltonovských systémů, Funct. Anální. Appl. 12 (1978) 113.
Bolsinov, A., Jovanovic, B. , Nekomutativní integrovatelnost, momentová mapa a geodetické toky, Ann. globální anál. Geom. 23 (2003) 305; arXiv : math-ph/0109031 .
Fasso, F. , Superintegrovatelné hamiltonovské systémy: geometrie a aplikace, Acta Appl. Matematika. 87 (2005) 93.
Fiorani, E. , Sardanashvily, G. , Globální souřadnice akčního úhlu pro zcela integrovatelné systémy s nekompaktními invariantními varietami, J. Math. Phys. 48 (2007) 032901; arXiv : math/0610790 .
Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , Geometrické metody klasické a kvantové mechaniky (World Scientific, Singapur, 2010) ISBN 978-981-4313-72-8 ; arXiv: 1303.5363 (downlink) .

Superintegrovatelný Hamiltonův systém

Literatura

Viz také