Lorenzova koule

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 11. ledna 2017; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Lorentzova koule je metoda pro výpočet lokálního pole v mikroskopické teorii dielektrik. Umožňuje zjistit dielektrickou konstantu materiálu, pokud je známa dipólová polarizovatelnost částic materiálu. Velkou oblibu si získal po vydání klasického díla Hendrika Antona Lorentze „Teorie elektronů a její aplikace na jevy světla a tepelného záření“.

Popis metody

Předpokládá se, že dielektrikum sestává z velkého počtu nezávisle polarizovaných dipólových částic . Každá částice reaguje na místní elektrické pole , které na ni působí , což je součet daného elektrického pole aplikovaného na dielektrický vzorek a dalšího pole (interakční pole) v důsledku polarizace částic: $\mathbf {E} ^{\rm {loc}}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {E} ^{\rm {int}}$

\mathbf {E} ^{\rm {loc}}=\mathbf {E} +\mathbf {E} ^{\rm {int}}.

Pro výpočet interakčního pole navrhl Lorentz následující metodu. Obklopme částici vzorku, pro kterou hledáme lokální pole, imaginární koulí o nějakém poloměru (viz obr.). Poloměr koule musí být dostatečně velký, aby se dovnitř koule dostalo značné množství dielektrických částic. Na druhé straně musí být tento poloměr dostatečně malý, aby se aplikované elektrické pole v rámci zvolené koule nevýznamně měnilo. První podmínka umožňuje neuvažovat částice mimo kouli odděleně a nahradit diskrétní rozložení dipólových momentů v této oblasti zprůměrovaným spojitým rozložením. Druhá podmínka nám umožňuje předpokládat, že částice zachycené uvnitř koule jsou stejně polarizované, to znamená, že jejich elektrické dipólové momenty jsou stejné. $\mathbf {E} ^{\rm {int}}$

Lorentz ukázal, že pole jednotlivých dipólových částic, které se dostaly dovnitř koule, se celkem ruší (ve středu koule). Výsledkem je, že interakční pole je určeno polarizací vzorku poblíž hranice Lorentzovy koule. Za výše uvedených podmínek lze toto pole vyjádřit (viz níže) pomocí vektoru elektrické polarizace ( v jednotkách SI ): ${\mathbf {P}}$

\mathbf {E} ^{\rm {int}}={\frac {\mathbf {P} }{3\varepsilon _{0}}}.

Pro místní pole v dielektriku tak Lorentz získal výraz

\mathbf {E} ^{\rm {loc}}=\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {P} }{3\varepsilon _{0}}}.

Výpočet interakčního pole

Najděte další pole vytvořené polarizací mimo Lorentzovu sféru. Za výše uvedených podmínek je takový problém ekvivalentní nalezení elektrického pole ve středu kulové dutiny vyříznuté v rovnoměrně polarizovaném dielektrickém vzorku.

Vyříznutí dutiny vede k tomu, že se na hranici dutiny objeví vázané elektrické náboje . Počátek souřadnic umístíme do středu dutiny. Potom je ve sférickém souřadnicovém systému povrchová hustota vázaných nábojů vyjádřena jako

\sigma (\vartheta )=-P\cos \vartheta ,

kde je absolutní hodnota vektoru polarizace a je úhel mezi kladným směrem vektoru a vektorem poloměru k aktuálnímu bodu na hranici kulové dutiny. Protože nezávisí na , vektor požadovaného elektrického pole je směrován s a jeho modul je roven (projekce na směr polarizace intenzity pole bodového náboje ) $\ P$ ${\mathbf {P}}$ $\ \vartheta$ ${\mathbf {P}}$ $\ \sigma$ $\ \varphi$ ${\mathbf {P}}$

E^{\rm {int}}=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\oint {\frac {\sigma \cos \vartheta }{r^{2 }}}\,dS,

kde je poloměr koule a integrál je převzat přes povrch dutiny. Vezmeme-li v úvahu, že ve sférickém souřadnicovém systému získáme $r$ $dS=r^{2}\sin \vartheta \,d\vartheta \,d\varphi$

E^{\rm {int}}={\frac {P}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits _{0}^{\pi }\cos ^{2}\vartheta \sin \vartheta \,d\vartheta ={\frac {P}{3\varepsilon _{0}}}.

Viz také

Literatura

Lorentz GA Teorie elektronů a její aplikace na jevy světla a tepelného záření. M.: GTTI, 1953.