Maclaurinový sféroid

Maclaurinův sféroid je zploštělý sféroid , ke kterému dochází, když se samogravitující tekutinové těleso s rovnoměrným rozložením hustoty otáčí konstantní úhlovou rychlostí. Sféroid je pojmenován po skotském matematikovi Colinu Maclaurinovi , který tento tvar Země navrhl v roce 1742 [1] . Ve skutečnosti je Země mnohem méně zploštělá, protože není homogenní a má husté železné jádro. Maclaurinův sféroid je považován za nejjednodušší model elipsoidního rotačního útvaru v rovnováze, protože má konstantní hustotu.

Maclaurinův vzorec

Pro zploštělý sféroid s hlavní poloosou a vedlejší poloosou je úhlová rychlost dána Maclaurinovým vzorcem $A$ $C$ $\Omega$

{\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}={\frac {2{\sqrt {1-e^{2}}}}{e^{3}}} (3-2e^{2})\arcsin e-{\frac {6}{e^{2}}}(1-e^{2}),\quad e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}},

kde je excentricita poledníkové části sféroidu, je hustota, je gravitační konstanta . Vzorec předpovídá dva možné typy rovnovážného útvaru v , jeden z nich je koule ( ), druhý je plochý sferoid ( ). $E$ $\rho$ $G$ $\Omega \rightarrow 0$ $e\rightarrow 0$ $e\rightarrow 1$

Maximální úhlová rychlost nastává při excentricitě , hodnota druhé mocniny maximální úhlové rychlosti je rovna , to znamená, že nad touto rychlostí rovnovážné číslo neexistuje. To je v rozporu s pozorovacími údaji. Důvodem rozporu může být přítomnost dvou nerealistických předpokladů: jedním je, že rozložení hustoty je rovnoměrné, druhým je, že tvar povrchu je jednoduchá kvadrika . $e=0{,}92995$ $\Omega ^{2}=0{,}449331\pi G\rho$

Moment hybnosti Maclaurinova sféroidu je dán vztahem $L$

{\frac {L}{\sqrt {GM^{3}{\bar {a))))}={\frac {\sqrt {3}}{5}}\left({\frac { a}{\bar {a}}}\right)^{2}{\sqrt {\frac {\Omega ^{2}}{\pi G\rho }}}\ ,

kde je hmotnost sféroidu, je průměrný poloměr, tj. poloměr koule o stejném objemu jako sféroid. Jednodušeji řečeno [3] ${\displaystyle M={\frac {4\pi }{3}}\rho a^{3}{\sqrt {1-e^{2))))$ ${\bar {a}}=(a^{2}c)^{1/3}$

L={\frac {2}{5}}M\Omega a^{2}.

Kinetická energie sféroidu [3]

K={\frac {1}{5}}M\Omega ^{2}a^{2}.

Udržitelnost

Pro Maclaurinův sféroid s excentricitou větší než 0,812670 [3] má Jacobiho triaxiální elipsoid se stejným momentem hybnosti nižší celkovou energii. Pokud se takový elipsoid skládá z viskózní tekutiny a nedochází u něj k poruchám, které by mohly narušit symetrii rotace, pak se roztáhne a získá podobu Jacobiho elipsoidu, zatímco část energie přejde do tepelné formy. U podobného sféroidu z nevazké tekutiny povedou poruchy k netlumeným oscilacím.

Maclaurinův sféroid s excentricitou větší než 0,952887 [3] je dynamicky nestabilní. I když se objekt skládá z nevazké tekutiny a neztrácí energii, malé odchylky porostou exponenciálně. Dynamická nestabilita implikuje sekulární nestabilitu [4] .

Poznámky

↑ Maclaurin C. A Treatise of Fluxions: In Two Books. 1. Sv. 1. Ruddimans, 1742.
↑ Chandrasekhar S. Elipsoidní obrazce rovnováhy. sv. 10. New Haven: Yale University Press, 1969.
↑ 1 2 3 4 Poisson E., Will C. Gravitace : newtonovská, postnewtonská, relativistická . - Cambridge University Press , 2014. - S. 102-104. — ISBN 1139952390 . Archivováno 23. října 2017 na Wayback Machine
↑ Lyttleton RA Stabilita rotujících kapalných hmot . - Cambridge University Press , 1953. - ISBN 9781316529911 .