Konverzní schéma

Axiomové schéma nahrazení je následující návrh teorie množin :

$\forall x\exists ^{\{1\}}y\ (\phi [x,y])\to \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftright\exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\ )$ , kde $\forall x\exists ^{\{1\}}y\ (\phi [x,y])\Šipka doleva \forall x\exists !y\ (\phi [x,y])\Šipka doleva \forall x\existuje y\forall y'(\phi [x,y]\leftrightarrow y=y')$

Transformační schéma lze formulovat v ruštině, konkrétně: "Jakoukoli množinu lze přeměnit na [stejnou nebo jinou] množinu vyjádřením funkčního úsudku o všech prvcích této množiny ." $d$ $\phi$ $b$ $A$

Příklad V následujícím příkladu funkční úsudek transformuje každou sadu do sebe.

y=x

A

\phi [x,y]\leftrightarrow y=x\quad \Rightarrow \quad \forall a\existuje d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c= b))\quad \Leftrightarrow \quad \forall a\existuje d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in a)

Další znění transformačního schématu

Transformační schéma je také napsáno v následujícím tvaru:

$\forall a\ (\ \forall b\ (b\v a\to \existuje ^{\{1\}}y\ (\phi [b,y])\ )\quad \to \quad \ existuje d\forall c\ (c\in d\leftright \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\ ))$

Příklady 1. V následujícím příkladu funkční soud transformuje množinu přirozených čísel na množinu sudých čísel .

y=2b'

\mathbb {N}

\{0,2,4,...\}

{\begin{aligned}a={\mathbb {N}}\ \land \ (\phi [b',y]\leftrightarrow y=2b')\quad \Rightarrow \quad \exists d\forall c\ (c \in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in {\mathbb {N))\ \land \ c=2b))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\ v \{0,2,4,...\})\end{aligned}}

2. V následujícím příkladu funkční soud transformuje množinu reálných čísel na [neuspořádaný] pár .

(b'=0\to y=a_{1})\ \land \ (b'\neq 0\to y=a_{2})

\mathbb {R}

\{a_{1},\ a_{2}\}

{\begin{aligned}a={\mathbb {R}}\quad \land \quad (\phi [b',y]\leftrightarrow (b'=0\to y=a_{1})\ \land \ (b'\neq 0\to y=a_{2}))\quad \Rightarrow \\\ \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in {\mathbb {R }}\ \land \ (b=0\to c=a_{1})\land (b\neq 0\to c=a_{2})\ ))\\\ \Šipka doleva\existuje d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c=a_{1}\ \lor \ c=a_{2})\end{aligned}}

3. V následujícím příkladu funkční soud transformuje množinu celých čísel na podmnožinu přirozených čísel .

(0\leq b'\leq 1\to y=b')\ \land \ (\neg (0\leq b'\leq 1)\to y=1)

\mathbb {Z}

{\displaystyle \{n:\ n\in \mathbb {N} \ \land \ n<2\))

{\begin{aligned}a={\mathbb {Z}}\quad \land \quad (\phi [b',y]\leftrightarrow (0\leq b'\leq 1\to y=b')\land (\neg (0\leq b'\leq 1)\to y=1))\quad \Rightarrow \\\ \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in { \mathbb {Z}}\land (0\leq b\leq 1\to c=b)\land (b<0\nebo b>1\to c=1)))\\\ \Leftrightarrow \exists d\ forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{n:\ n\in {\mathbb {N}}\ \land \ n<2\}\ )\end{aligned}}

Transformační schéma je také napsáno v následujícím tvaru:

$\forall a\ (\ \forall b\ (b\v a\to \existuje ^{\{0,1\}}y\ (\phi [b,y]))\quad \to \quad \exists d\forall c\ (c\in d\leftright \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\ ))$ , kde $\exists ^{\{0,1\}}y\ (\phi [b,y])\Šipka doleva \forall y\forall y'\ (\phi [b,y]\ \land \ \phi [b,y']\to y=y')$

Von Neumann dokázal, že tento axiom vyplývá z axiomu omezení velikosti . Axiom transformačního schématu lze vyjádřit takto: je-li F funkce a A množina, pak F ( A ) je množina.

Poznámky

1. Souvislost mezi transformačním schématem a párovým axiomem je vyjádřena následujícím tvrzením:

${\begin{aligned}\forall a_{1}\forall a_{2}\ (a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))\quad \land \quad (\ phi [b',y]\ \leftrightarrow \ (b'=\varnothing \to y=a_{1})\land (b'\neq \varnothing \to y=a_{2})\ )\\\ \ rightarrow \quad (\existuje d\forall c\ (c\in d\ \leftrightarrow \ \exists b\ (b\in a\land \phi [b,c]))\ \rightarrow \ \exists c\forall b \ (b\v c\leftrightarrow b=a_{1}\nebo b=a_{2})\ )),\end{aligned}}$

kde je logická hodnota logické hodnoty prázdné množiny.

{\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))

2. Souvislost mezi schématem transformace a schématem výběru je vyjádřena následujícím tvrzením:

${\begin{aligned}\forall a\ (\ x\in \{b:b\in a\land \Phi [b]\}\quad \land \quad (\phi [b',y]\ \leftrightarrow \ (\Phi [b']\to y=b')\země (\neg \Phi [b']\to y=x)\ )\\\ \to \quad (\existuje d\forall c\ ( c\v d\leftrightarrow \existuje b\ (b\v a\land \phi [b,c]))\ \leftrightarrow \ \existuje c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\land \Phi [b]))\ )\end{aligned}}$

Historické pozadí

Transformační schéma nebylo zahrnuto do axiomů teorie množin, které zformuloval německý matematik Ernst Zermelo v roce 1908.

Transformační schéma navrhl Adolf Frenkel v roce 1922 , o něco později a nezávisle na něm schéma navrhl norský matematik Turalf Skolem .

Viz také

Axiomatika teorie množin

Konverzní schéma

Další znění transformačního schématu

Poznámky

Historické pozadí

Viz také

Literatura