Schéma s rozdíly proti proudu

Schéma rozdílu protiproudu ve výpočetní fyzice je třída diskretizačních metod pro řešení ( explicitními schématy ) parciálních diferenciálních rovnic hyperbolického typu ( hyperbolické rovnice ).

Například jednorozměrná vlnová rovnice má tvar

$\qquad {\frac {\částečné u}{\částečné t))+a{\frac {\částečné u}{\částečné x))=0$

Popisuje šíření vlny ve směru s rychlostí . Taková rovnice je také matematickým modelem pro jednorozměrnou lineární advekci . Vzhledem k běžnému bodu mřížky jsou v jednorozměrném případě pouze dva možné směry, doleva a doprava. Pokud je kladná, pak se levá strana nazývá směrem proti proudu a pravá strana se nazývá směrem po proudu. (Pokud je záporné, pak naopak). Pokud při použití konečných diferencí pro prostorovou derivaci obsahuje více bodů na protiproudé straně, pak se schéma nazývá protiproudové diferenciační schéma [1] . $X$ $A$ $i$ $A$ $A$ $\partial u/\partial x$

První objednávka

Nejjednodušší příklad, příklad prvního řádu: [2]

\quad (1)\qquad {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n)){\Delta t))+a{\frac {u_{i} ^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}=0\quad {\text{for}}\quad a>0

\quad (2)\qquad {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n)){\Delta t))+a{\frac {u_{i+ 1 }^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}=0\quad {\text{for}}\quad a<0

Kompaktní forma

Definování

\qquad \qquad a^{+}={\text{max))(a,0)\,,\qquad a^{-}={\text{min))(a,0)

\qquad \qquad u_{x}^{-}={\frac {u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}\,,\ qquad u_{x}^{+}={\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n)){\Delta x))

dvě podmíněné rovnice (1) a (2) lze zapsat do jedné:

\quad (3)\qquad u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-\Delta t\left[a^{+}u_{x}^{-}+ a^{-}u_{x}^{+}\right]

Taková rovnice obecně představuje schémata s rozdíly proti proudu. Stabilita systému s rozdíly proti proudu je určena kritériem Courant-Friedrichs-Levy . [3]

Zdroje

↑ Fletcher K. Výpočtové metody v dynamice tekutin . - Springer , 1992. - ISBN 9783540530589 . (Ruština)
↑ Patankar, SV Numerický přenos tepla a proudění tekutin (nespecifikováno) . — Taylor & Francis , 1980. — ISBN 978-0-89116-522-4 .
↑ Hirsch, C. Numerický výpočet vnitřních a vnějších toků . - John Wiley & Sons , 1990. - ISBN 978-0-471-92452-4 .