Počitadlo

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 29. září 2020; kontroly vyžadují 10 úprav .

Abacus ( rusky abacus ) - jednoduché mechanické zařízení (počítací deska s kostmi) pro provádění aritmetických výpočtů , podle jedné verze pocházejí z čínského počítacího zařízení suanpan , podle druhé jsou ve skutečnosti ruského původu.

Představují rámec s určitým počtem paprsků; navlékají se na ně klouby, kterých bývá po 10 kusech. Účty jsou jedním z prvních počítačových zařízení a byly široce používány v obchodu a účetnictví až do konce 20. století , dokud je nenahradily kalkulačky . Velmi zřídka se dnes používá např. ve vesnických a venkovských obchodech [1] .

Historie

Nejstarší počítadlo (dvaceti tyčinek vyrobených ze slonoviny) bylo objeveno při archeologických vykopávkách v Mongolsku. Podle výsledků rozboru bylo zjištěno, že byly vyrobeny před více než třemi tisíci lety [2] .

Nikolaas Witsen svého času na základě vnější podobnosti se Suanpanem navrhl, že počítadlo přišlo z Číny prostřednictvím Tatarů Zlaté hordy ve 14. století [3] a dokonce jmenuje toho, kdo je jako první představil v Rusku – první z Stroganovci [4] . I. G. Spassky však poukazuje na odlišnosti od suanpan , zejména na to, že v účtech byla použita desítková číselná soustava [5] . Domníval se, že počítadlo pochází ze zařízení „ board account “, které podle jeho předpokladu vzniklo v moskevském státě v 16. století [6] .

První známá zmínka o účtech se nachází v "Knize sčítání lidu domovské pokladnice patriarchy Nikona", sestavené v roce 1658 , kde se nazývají "účty" [7] [8] .

Číselný systém a kódovací systém

V ruských účtech se používá poziční desítkový číselný systém s nepozičním unárním kódováním v rámci každé číslice.

Každá řada kostí představuje číselnou číslici , která se směrem nahoru od jehly se čtyřmi kostmi zvyšuje od jednotek do milionů (se sedmi řadami celých čísel) a směrem dolů klesá z desetin na tisíciny. Maximální hodnota pro každý řádek je desetinásobek váhy číslice (u číslice jednotek je maximální hodnota 10, pokud jsou všechny dlaždice vlevo, pro desítky je to 100 atd.). "Nastavení" čísla se provádí posunutím kostí z pravého okraje tyče doleva.

Tyč, na které jsou pouze 4 kosti, byla pro výpočty použita na polovinu . Jedna polovina se rovnala polovině jedněch peněz , tedy čtvrtině haléře . V souladu s tím činily čtyři kolena jednu kopejku [9] . Tento prut byl také použit k přeměně liber na libry (1 pood = 40 liber). Tato tyč může také sloužit jako oddělovač celých a zlomkových částí čísla zadaného na účtech a nepoužívá se ve výpočtech.

Maximální počet, který lze získat na počítadle se sedmi řadami celých čísel, je tedy 11 111 111,110 .

Po přidání jednoho bitu desáté kosti k devíti kostem se provede operace zápisu přenosové jednotky do dalšího bitu, která se skládá ze tří akcí:

  1. posunutím jednoho kloubu doleva se k devíti kloubům přidá desátý kloub;
  2. posun doprava od všech deseti kloubů, předchozí bit se vynuluje;
  3. posun doleva od jednoho kloubu na další číslici, je zaznamenána přenosová jednotka.

Dodržováním tohoto pravidla je vyloučena jakákoli nejednoznačná reprezentace čísel. Z hlediska teorie číselných soustav pro akce v exponenciální jednotkově kódované desítkové poziční číselné soustavě stačí devět kostí, jak o tom píše i Ya. I. Perelman [10] , přičemž operace zápisu převodu jednotka by byla provedena ve dvou akcích namísto tří akcí:

  1. posun doleva od jednoho kloubu k dalšímu bitu, zaznamená se přenosová jednotka;
  2. posunutím devíti kostí doprava se předchozí číslice vynuluje;

ale pro pohodlí počítání (zejména pro pohodlné získání přídavku k 10, který je nezbytný pro přenos výboje při odečítání), byl v ruských účtech zvolen počet kloubů rovný deseti.

Pravidla počítání

Obecné poznámky

Pomocí účtů v rámci jejich možností můžete provádět všechny základní aritmetické operace: sčítání, odčítání, násobení, dělení . V praxi je však pohodlné a rychlé pouze sčítat a odčítat: operace násobení libovolným číslem je poměrně komplikovaná a dělení obecně pravděpodobně zabere více času než provádění stejné operace na papíře pomocí „ dělení sloupců “ . Existuje však poměrně velké množství speciálních případů, kdy je počítadlo docela použitelné pro násobení a dělení.

Kromě toho je třeba vzít v úvahu následující body:

"Nastavit" čísla

Zobrazení čísel na účtech a pořadí vytáčení jsou popsány výše. Je třeba pouze poznamenat, že pravidlo pro umístění číslic čísla na drátech (tedy umístění jediné číslice bez problémů před drát se čtyřmi kostmi) v praktických výpočtech často není nutné dodržovat . Navíc v procesu výpočtů je někdy vhodné místo přepisování čísla jednoduše mentálně přesunout oddělovač celých a zlomkových částí na jiné místo.

Některé příručky o výpočtech počítadla doporučují následující „vylepšení“: vyvrtejte řadu malých otvorů do rámu počítadla vlevo, umístěných naproti mezerám mezi dráty. Při výpočtu se předmět – například hřebík nebo narovnaná kancelářská sponka – umístí do otvoru naproti mezeře, která aktuálně odděluje jednotky a desetiny. Poloha oddělovače desetinných míst je tak kdykoli jasně označena a lze ji snadno změnit.

Doplnění

Podle jednoho z možných způsobů se sčítání na účtech provádí „zdola nahoru“ (od nižších číslic ke starším). První termín je „napsán“ na účty, načež se bit po bitu, od nejméně významné číslice po nejvyšší, provádějí následující akce:

  1. Na drát odpovídající kategorii je vlevo vrženo tolik kostí , kolik je jednotek v odpovídající kategorii druhého termínu.
  2. Pokud na drátu není dostatek kostí k provedení první akce, pak na drátu vlevo zůstane tolik kostí, kolik jich bylo málo, a na dalším (vyšším) drátu se jedna kost hodí doleva.
  3. Pokud je v důsledku akce (jak první, tak i druhá a tato) na drátu vlevo 10 kostí, pak jsou všechny kosti na tomto drátu vrženy doprava a na další (vyšší) drátu, jedna kost je navíc hozena doleva.

Po provedení akcí se všemi číslicemi bude výsledkem přidání číslo „vytočené“ na účtech.

Existuje další způsob: sčítání z vyšších číslic na nižší [11]  - viz animace.

Odečítání

Odečítání na účtech se provádí „shora dolů“, tedy od nejvyšších číslic po nejnižší. Vzhledem k nevhodnosti účtů pro práci se zápornými čísly je vždy nutné odečíst menší kladné číslo od většího kladného čísla. Pokud chcete odečíst větší od menšího, čísla by měla být prohozena a znaménko „na mysli“ by mělo být ponecháno.

Na účtech je snížené „zapsáno“, načež se kousek po kousku, od nejvýznamnější číslice po nejmladší, provádějí následující akce:

  1. Na drátu odpovídající kategorii je vpravo hozeno tolik kostí , kolik je jednotek v odpovídající kategorii podtrahendu.
  2. Pokud na drátu není dostatek kostí k provedení první akce, výboj se přenese: (10 -  n ) kosti jsou ponechány vlevo, kde n  je „chybějící“ počet kostí (aby se neprovedla druhá odečtením ve své mysli můžete přenést celých deset kostí na tomto drátu doleva, pak vyhodit chybějící počet kostí) a na drátu nahoře je jedna kost odhozena doprava
  3. Pokud během přenosu není na drátu dostatek kostí odpovídající nejvyšší číslici, provede se přenos na další (ještě starší) číslici a tak dále, dokud jeden z drátů nemá dostatek kostí. Takže například při odečítání (1001 − 3) zůstane nejprve 8 kostí na drátu nejméně významné číslice a bude vyžadován převod na druhou číslici, poté na třetí a teprve poté bude dostatek jámy na drátu čtvrté číslice pro dokončení operace.

Násobení

Násobení jednou číslicí lze obecně nahradit přičtením násobitele k sobě odpovídajícím počtem opakování. Celočíselná víceciferná čísla se násobí bit po bitu, podobně jako „násobení sloupců“:

Pokud se násobí neceločíselná čísla, pak se operace provede úplně stejným způsobem (výpočty se provádějí s celými čísly, oddělovače desetinných míst jsou jednoduše ignorovány). Desetinný oddělovač se při zapisování výsledku vkládá do správné polohy ručně.

Navzdory těžkopádnosti algoritmu s rozvinutou dovedností může být zisk v čase ve srovnání s výpočtem na papíře významný.

Divize

Dělení obecně je nahrazeno odečítáním. Obecný algoritmus pro dělení celých čísel je následující:

Je-li dělenec násobkem dělitele, pak operace skončí, když bude dosaženo nejméně významného desetinného místa děliče a všechny kosti, kromě těch, na kterých je výsledek akumulován, budou vpravo. Pokud ne, pak na účtech zůstane číslo odpovídající zbytku dělení. V případě potřeby pak můžete získat desetinná místa zlomkového výsledku, pokud je na účtech dostatek drátů (když není kam posunout oddělovač desetinných míst dolů, můžete uměle posunout nahromaděný zbytek výše, abyste mohli pokračovat v dělení; tímto způsobem může získat až 7-8 číslic výsledku).

Například počítáme 715/31:

Stejně jako v případě násobení jsou při dělení desetinných zlomků argumenty nahrazeny celými čísly a výpočty jsou prováděny přesně ve stejném pořadí a oddělovač desetinných míst je ručně převeden na správné místo ve výsledku.

Zjednodušené triky pro násobení a dělení

Svévolné násobení a zejména dělení na účtech není příliš pohodlné. Existuje však řada speciálních případů, kdy se tyto operace provádějí mnohem snadněji:

Často je možné pomocí jednoduchých manipulací zredukovat vypočítanou operaci na kombinaci speciálních případů násobení a dělení. Například násobení 25 lze nahradit násobením 100 a dělením 2 2. Když se jeden nebo oba operandy blíží "vhodným" číslům pro výpočty, můžete kombinovat speciální případy násobení a dělení se sčítáním a odečítáním. Ale možnost takových triků silně závisí na úrovni školení kalkulačky. Umění počítání na počítadle ve skutečnosti spočívá ve schopnosti zredukovat jakýkoli požadovaný výpočet na kombinaci snadno spočítatelných prvků.

Příklad účtu

Známý příklad použití účtů k řešení problémů je uveden v příběhu Antona Čechova " Tutor " [12] . Učitel gymnázia Egor Alekseich Ziberov požádal mladého Petyu Udodova o úkol:

Obchodník koupil 138 arshinů černé a modré látky za 540 rublů. Otázkou je, kolik aršinů koupil oba, když modrý stál 5 rublů za aršin a černý 3 rubly.

Péťa to nedokázal vyřešit. Sám tutor si však nedokázal poradit, ačkoli věděl, že „úloha je ve skutečnosti algebraická “ a „lze ji vyřešit pomocí x a y“. Pokud skutečně předpokládáme, že - toto je množství modré látky a - černé, můžeme sestavit následující soustavu rovnic :

Po vyřešení dostáváme odpověď: tedy 75 aršínů černé látky a 63 aršínů modré.

Takové řešení tohoto problému však vede ke ztrátě jeho vnitřní logiky. Chlapcův otec, penzionovaný provinční tajemník Udodov, předvedl jiné řešení:

"Můžete to vyřešit bez algebry," říká Udodov, natahuje ruku k počítadlu a vzdychá. „Tady, podívej se…

Klikne na počítadlo a dostane 75 a 63, což je to, co potřeboval.

- Tady, pane... podle našeho názoru neučeným způsobem.

Samotné „nenaučené“ řešení Čechov v příběhu neuvádí, ale lze jej snadno rekonstruovat, protože problém má standardní aritmetické řešení založené na logice a spočívající v provedení šesti aritmetických operací. Předpokládejme, že všechna zakoupená látka byla modrá. Pak by várka 138 arshinů stála 690 rublů ( ). Ale to je o 150 rublů ( ) více, než kolik bylo skutečně zaplaceno. „Překročení“ 150 rublů naznačuje, že strana měla levnější, černou látku - 3 rubly za arshin. Této látky je tolik, že z rozdílu dvou rublů ( ) získáme 150 rublů „navíc“. Tedy 75 arshinů ( ) černé látky. Nyní můžeme zjistit množství modré látky: 63 arshinů ( ).

„Klikání na účty“, které provedl Udodov, vypadalo takto:

  1. Číslo 138 je na účtech „zabodováno“: jedna kost na prvním drátu, tři na druhém, osm na třetím.
  2. Vynásobí se 138 krát 5. Pro zjednodušení počítání se místo toho nejprve vynásobí 138 10, aniž by dělal jakékoli manipulace, jednoduše mentálně přenesl všechny kosti o řádek výše, poté se vydělil 2: na každém drátu, počínaje zespodu je polovina kostí přehnuta zpět. Na třetím drátu, kde je uloženo osm kostí, jsou čtyři vrženy zpět; dvě ze tří kostí jsou na prostředním drátu složeny zpět, přičemž jedna z nich je mentálně nahrazena deseti spodními a rozdělena na polovinu - to znamená, že k těm na dalším drátu se přidá pět kostí; jedna kost se odstraní na horním drátu a pět se přidá ke kostem na druhém drátu. Výsledkem je, že na horním drátu nejsou žádné kosti, na druhém zbývá šest a na třetím devět. .
  3. 540 se odečte od 690: pět kostí se odstraní z druhého drátu, čtyři ze třetího. .
  4. 150 se dělí na polovinu (metoda - viz výše). .
  5. 75 se odečte od 138. 138 je znovu „naverbováno“, vyřazeno na druhém drátu, ale jsou pouze tři. Čtyři nestačí, a tak na drátě zůstane šest kostí (pokud je Udodov v duchu líný odečíst čtyři od deseti, může celou desítku hodit na druhý drát doleva a „neodečtené“ čtyři kosti z něj odhodit ) a z prvního drátu se odstraní jedna kost. Nyní na třetím drátu, z osmi kostí, je pět vyřazeno. .

Učitelům se doporučuje, aby při hodinách na základní škole používali matematické úlohy z uměleckých děl, včetně Čechovovy povídky "Učitel" [13] [14] .

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Novinky ve 20:00 od 1.12.2021 - YouTube
  2. ↑ Yu, Sitsko. Nejstarší počítadlo // "Komsomolskaja Pravda" z 12. září 1986.
  3. ↑ Spassky, 1952 , s. 272.
  4. ↑ Spassky, 1952 , s. 417.
  5. ↑ Spassky, 1952 , s. 270.
  6. ↑ Spassky, 1952 , s. 369-370.
  7. ↑ Sčítací kniha domovní pokladny patriarchy Nikona // "Vremennik imperiální moskevské společnosti ruských dějin a starožitností", kniha 15 . - M. , 1852. - S. 117.
  8. ↑ Spassky, 1952 , s. 320.
  9. ↑ Počítače starověku (nepřístupný odkaz) . Archivováno z originálu 27. července 2009. 
  10. ↑ Ano, I. Perelman. Zábavná aritmetika. Úkol číslo 7 . Získáno 27. srpna 2010. Archivováno z originálu 17. července 2011.
  11. ↑ Kirjušin, 1925 , str. 17-23.
  12. ↑ Perelman Ya. I. Zábavná aritmetika: Hádanky a kuriozity ve světě čísel. - M.-L.: Gonti, 1938. - S. 30-33.
  13. ↑ Sergeeva L. A. Estetický potenciál hodin matematiky na základní škole // Realizace vzdělávacích a vzdělávacích funkcí moderní základní školy: elektronický sborník článků založený na materiálech X všeruské vědecké a praktické konference „Pedagogické čtení v paměti profesora A. A. Ogorodnikova“ (město 6. února 2019, Perm, Rusko) / pod celk. vyd. L. V. Selkina; Permská státní humanitní a pedagogická univerzita. - Perm, 2019. - S. 187-188.
  14. ↑ Shvetsova R. F. Literární díla v hodinách matematiky na základní škole // Implementace federálního státního vzdělávacího standardu na základní škole: inovativní přístupy k organizaci vzdělávacího procesu: sborník sborníků z Republikové vědecko-metodické konference (28. března 2019 , Jakutsk). – Kirov: MCITO, 2019. – S. 109.

Literatura

Odkazy

 počitadlo