Tensor Darboux

Složky Darbouxova tenzoru dvourozměrné plochy F 2 s nenulovou Gaussovou křivostí K v euklidovském prostoru E 3 se vypočítají podle vzorců: $\Theta$

\Theta _{ijm}=\nabla _{m}b_{ij}-{\frac {b_{ij}\nabla _{m}K+b_{mi}\nabla _{j}K+b_ {jm}\nabla _{i}K}{4K}},\quad i,j,m=1,2,

kde jsou koeficienty druhé kvadratické formy, je Gaussova křivost a jsou jejich kovariantní deriváty. ${\displaystyle b_{ij))$ $K\neq 0$ ${\displaystyle \nabla _{m}b_{ij))$ $\nabla _{m}K$

Darbouxův tenzor [1] je spojen s kubickou diferenciální formou

\Theta _{ijm}du^{i}du^{j}du^{m}=\nabla _{m}b_{ij}du^{i}du^{j}du^{m} -{\frac {3\nabla _{m}K}{4K}}b_{ij}du^{i}du^{j}du^{m}.

Tato forma, označovaná jako křivka na povrchu, se nazývá Darbouxův invariant.

Křivka, v jejímž každém bodě je Darbouxův invariant roven nule, se nazývá Darbouxova čára [2] .

Zobecněný Darbouxův tenzor hyperpovrchu je trojitý kovariantní symetrický tenzor třetího řádu definovaný na n-rozměrném hyperpovrchu F n s nenulovým Gaussovým zakřivením K v euklidovském prostoru E n+1 [3] . Složky zobecněného Darbouxova tenzoru hyperplochy se vypočítají podle vzorců [4] : ${\displaystyle \Theta _{(n)))$

\Theta _{(n)ijm}=\nabla _{m}b_{ij}-{\frac {b_{ij}\nabla _{m}K+b_{mi}\nabla _{j} K+b_{jm}\nabla _{i}K}{(n+2)K}},\quad i,j,m=1,2,...,n.

Hyperplocha F n v euklidovském prostoru E n+1 , na které je definován zobecněný Darbouxův tenzor a shodně rovný nule, se v E n+1 nazývá zobecněná Darbouxova hyperplocha .

Poznámky

↑ Darbouch, G. (1880). Býk. sci. matematika.", 1880, seř. 2, t. 4. R. 348-384.
↑ Kagan, V. F. (1948). Základy teorie ploch v tensorovém podání, 2. díl, M.-L.: OGIZ, 1948, s. 208-233.
↑ Bodrenko, I. I. (2013). Zobecněné Darbouxovy plochy v prostorech konstantní křivosti. Saarbrücken, Německo: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013, s. 119-130. ISBN 978-3-659-38863-7 .
↑ Bodrenko, I. I. (2013). Zobecněné Darbouxovy plochy v prostorech konstantní křivosti. C. 119-130.