Tenzor deformace

Tenzor deformace je tenzor , který charakterizuje stlačení (protažení) a změnu tvaru v každém bodě těla během deformace .

Cauchyho-Greenův tenzor deformace v klasickém kontinuu (jehož částice jsou hmotnými body a mají pouze tři translační stupně volnosti) je definován jako

\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\částečné u_i} {\částečné x_j } + \frac{\částečné u_j} {\částečné x_i } + \sum\limits_l \frac{ \partial u_l} {\partial x_i }\frac{\partial u_l} {\partial x_j } \right)

kde je vektor popisující posunutí bodu tělesa: jeho souřadnice jsou rozdílem souřadnic blízkých bodů po ( ) a před ( ) deformací. Diferenciace se provádí souřadnicemi v referenční konfiguraci (před deformací). Vzdálenosti před a po deformaci souvisí : $\mathbf{u}$ $dx^\prime_i$ $dx_i$ $\varepsilon_{ij}$

dl^{\prime 2} = dl^{2} +2 \varepsilon_{ij}\, dx_i \, dx_j

(součet se provádí přes opakované indexy).

Podle definice je tenzor deformace symetrický, tj . $\varepsilon_{ij} = \varepsilon_{ji}$

V některých zdrojích se tento tenzor deformace nazývá Green-Lagrangeův tenzor deformace a správná Cauchy-Greenova míra deformace (dotyčný zdvojený tenzor deformace plus jednotkový tenzor) se nazývá správný Cauchy-Greenův tenzor deformace.

Nelineární Cauchy-Greenův tenzor deformace má vlastnost materiálové objektivity. To znamená, že pokud kus deformovatelného tělesa provede tuhý pohyb, tenzor deformace se otáčí spolu s elementárním objemem materiálu. Takové tenzory je vhodné použít při psaní konstitutivních rovnic materiálu, pak je automaticky naplněn princip materiálové objektivity, to znamená, že pokud se pozorovatel pohybuje vůči deformovatelnému prostředí, chování materiálu se nemění (napětí tenzor rotuje ve vztažné soustavě pozorovatele spolu s elementárním objemem materiálu).

Existují také další objektivní tenzory deformace, například Almansiho tenzor deformace, Piolův, Fingerův tenzor deformace atd. Některé z nich zahrnují derivace posunů podél souřadnic v referenční konfiguraci (před deformací) a některé zahrnují derivace souřadnic v aktuální konfiguraci (po deformaci).

Skutečnost, že v klasickém spojitém prostředí závisí deformační energie pouze na symetrickém tenzoru deformace, vyplývá ze zákona momentové rovnováhy. Jakákoli funkce jedna ku jedné objektivního tenzoru deformace bude také objektivním tenzorem deformace. Například (kvůli symetrii a kladné jednoznačnosti tenzoru deformace) lze použít druhou odmocninu Cauchy-Greenova tenzoru deformace. Při nastavování konstitutivních rovnic pomocí těchto tenzorů je však důležité řídit se předpoklady o povaze závislosti volné energie (nebo napětí) na tenzorech deformace. Je jasné, že předpoklady o, řekněme, diferencovatelnosti volné energie vzhledem k Cauchy-Greenově deformačnímu tenzoru, vzhledem k jeho odmocnině nebo jeho kvadrátu, povedou k rovnicím úplně jiných materiálů. Teorie obecné formy, lineární v , se získá pro malé hodnoty pouze v prvním případě. $\mathbf{u}$ $\mathbf{u}$

U malých můžeme zanedbat kvadratické členy a použít tenzor deformace ve tvaru: $\mathbf{u}$

\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} \left( \frac{\částečné u_i} {\částečné x_j } + \frac{\částečné u_j} {\částečné x_i } \right)

Lineární Cauchy-Greenův tenzor deformace (shoduje se s Almansiho lineárním tenzorem deformace až do znaménka) nemá vlastnost materiálové objektivity při velkých rotacích, proto se nepoužívá v řídících rovnicích pro velká deformace. Při aproximaci malých rotací je tato vlastnost zachována.

Diagonální prvky popisují lineární tahové nebo tlakové deformace, mimodiagonální prvky popisují smykovou deformaci. $\varepsilon_{ij}$

Ve sférických souřadnicích

\varepsilon_{rr} = \frac{\částečné u_r}{\částečné r}

\varepsilon_{\theta\theta} = \frac{1}{r}\frac{\částečné u_\theta}{\částečné \theta} + \frac{u_r}{r}

\varepsilon_{\varphi\varphi} = \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\částečné u_\varphi}{\částečné \varphi} + \frac{u_\theta}{r} \text{ ctg } \theta + \frac{u_r}{r}

2\varepsilon_{\theta\phi} = \frac{1}{r} \left( \frac{\částečné u_\varphi}{\částečné \theta} - u_\varphi \text{ctg } \theta \right) + \frac{1}{r\sin\theta} \frac{\částečné u_\theta}{\částečné \varphi}

2 \varepsilon_{r\theta} = \frac{\částečné u_\theta}{\částečné r} - \frac{u_\theta}{r} + \frac{1}{r} \frac{\částečné u_r} {\částečné \theta }

2 \varepsilon_{\varphi r} = \frac{1}{r\sin\theta} \frac{\částečné u_r}{\částečné \varphi } + \frac{\částečné u_\varphi}{\částečné r} - \frac{u_\varphi}{r}

Ve válcovém souřadném systému

\varepsilon_{rr} = \frac{\částečné u_r}{\částečné r}

\varepsilon_{\varphi\varphi} = \frac{1}{r}\frac{\částečné u_\varphi}{\částečné \varphi} + \frac{u_r}{r}

\varepsilon_{zz} = \frac{\částečné u_z}{\částečné z}

2 \varepsilon_{\varphi z} = \frac{1}{r}\frac{\částečné u_z}{\částečné \varphi} + \frac{\částečné u_\varphi}{\částečné z}

2 \varepsilon_{rz} = \frac{\částečné u_r}{\částečné z} + \frac{\částečné u_z}{\částečné r}

2 \varepsilon_{r \varphi} = \frac{\částečné u_\varphi}{\částečné r} -\frac{ u_\varphi}{r} + \frac{1}{r} \frac{\částečné u_r} {\částečný \varphi}

Viz také

Literatura

Lur'e A. I. Teorie pružnosti. M.: Nauka, 1970. - 940 s.
Lur'e AI Nelineární teorie pružnosti. — M.: Nauka, 1980. — 512 s.
Dimitrienko Yu. I. Nelineární mechanika kontinua. Moskva: Fizmatlit, 2010, 624 s.