Abelova věta

Abelův teorém je výsledkem teorie mocninných řad , pojmenované po norském matematikovi Nielsi Abelovi . Inverzní k ní je Abel-Tauberova věta .

Prohlášení

Dovolit je mocninná řada s komplexními koeficienty a poloměrem konvergence . ${\displaystyle \textstyle f(x)=\sum \limits _{n\geqslant 0}a_{n}x^{n))$ $R$

Pokud je řada konvergentní, pak: ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{n\geqslant 0}a_{n}R^{n))$

\lim _{x\to R^{-}}f(x)=\sum _{n\geqslant 0}a_{n}R^{n}

Důkaz

Lze uvažovat o změně proměnných . Také (nutným výběrem ) můžeme předpokládat . Označme dílčí součty řady . Podle předpokladu a je třeba dokázat, že . $u=x/R$ $R=1$ $a_{0}$ $\textstyle \sum a_{n}=0$ $S_{n}$ $\textstyle \sum a_{n}$ $\lim _{n\to \infty }S_{n}=0$ $\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=0$

Zvažte . Pak (za předpokladu ): $x\in[0,1]$ $S_{-1}=0$

\sum _{n=0}^{N}(S_{n}-S_{n-1})x^{n}=\sum _{n=0}^{N}S_{n} (x^{n}-x^{n+1})+S_{N}x^{N+1}.

Odtud se ukazuje . ${\displaystyle \textstyle f(x)=(1-x)\sum \limits _{n=0}^{\infty }S_{n}x^{n))$

Pro libovolné existuje přirozené číslo , které je pro všechny , takže: $\varepsilon >0$ $N_{0}$ $|S_{n}|\leq \varepsilon$ $n>N_{0}$

\vert f(x)\vert \leqslant (1-x)\left\vert \sum _{n=0}^{N_{0}}S_{n}x^{n}\right\vert +(1-x)\ \varepsilon \sum _{n=N_{0}+1}^{\infty }x^{n}=(1-x)\left\vert \sum _{n=0} ^{N_{0}}S_{n}x^{n}\vpravo\vert +\varepsilon x^{N_{0}+1}.

Pravá strana má sklon k 1, zejména je menší , když jde k 1. $\varepsilon$ $X$ $2\varepsilon$ $X$

Příklady

Příklady 1

Vezměme si . Protože řada konverguje, máme: $\textstyle f(x)=\sum \limits _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=\ln(1 +x)$ $\textstyle \sum \limits _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}$

\lim _{x\to 1^{-}}f(x)=\ln 2=\sum _{n\geqslant 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{ n}}

Příklady 2

Vezměme si . Protože řada konverguje, máme: $\textstyle g(x)=\sum \limits _{n\geqslant 0}{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}=\arctan (X)$ $\textstyle \sum \limits _{n\geqslant 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}$

\lim _{x\to 1^{-}}g(x)=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}=\sum _{n\geqslant 0}{\ frac {(-1)^{n}}{2n+1}}

Odkazy

Abel summability (anglicky) na webu PlanetMath . (obecnější pohled na Abelovské věty tohoto typu)
Weisstein, Eric W. Abel's Convergence Theorem (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .