Harnackův křivkový teorém

Harnackův křivkový teorém , pojmenovaný po Axelu Harnackovi , udává možný počet spojených komponent , které může mít algebraická křivka z hlediska stupně křivky. Pro libovolnou algebraickou křivku stupně m na reálné projektivní rovině je počet složek c omezen výrazem

{\frac {1-(-1)^{m}}{2}}\leqslant c\leqslant {\frac {(m-1)(m-2)}{2}}+1.\

Maximální počet složek je o jednu větší než maximální rod křivky řádu m, čehož je dosaženo v případě nesingularity křivky. Navíc lze dosáhnout libovolného počtu komponent v tomto rozsahu možných hodnot.

Křivka s maximálním počtem reálných složek se nazývá M-křivka (od „maximum“). Například eliptická křivka se dvěma složkami, jako je nebo Trottova křivka , kvartika se čtyřmi složkami, jsou příklady M-křivek. $y^{2}=x^{3}-x,$

Tato věta tvoří pozadí pro Hilbertův šestnáctý problém .

Moderní výzkumy ukazují, že Harnackovy křivky jsou křivky, jejichž améba má plochu rovnou Newtonovu polygonu polynomu P, který se nazývá charakteristická křivka dimerových modelů, a jakákoli Harnackova křivka je spektrální křivkou nějakého dimerového modelu [1 ] [2] .

Literatura

Gudkov D.A. Topologie reálných projektivních algebraických variet // Uspekhi matematicheskikh nauk. - 1974. - T. 29 , no. 4 . — s. 3–79 .
Harnack CGA Ueber die Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Curven . — Matematika. Ann. - 1876. - T. 10. - S. 189-199.
Šestnáctý problém Wilsona G. Hilberta // Topologie. - 1978. - T. 17 . — S. 53–74 .
Richard Kenyon, Andrei Okounkov, Scott Sheffield. Dimers and Amébae // Annals of Mathematics . - 2006. - T. 163 , vydání. 3 . — S. 1019–1056 . doi : 10.4007 / anals.2006.163.1019 .
Grigorij Michalkin. Améby algebraických odrůd . — 2001.

Překlad z angličtiny článku "Harnackův křivkový teorém"