Hladově-Shafarevičova věta

Golod-Shafarevičův teorém je věta algebry. Byl formulován a dokázán E. S. Golodem a I. R. Shafarevičem v roce 1964 [1] [2] Jeho důležitými důsledky jsou negativní odpověď na Kuroshův problém (existuje nil-algebra, která není lokálně nilpotentní) [3] , negativní odpověď na obecný Burnside problém (existuje periodická grupa , která není lokálně konečná) [4] .

Podmínky

Dovolit být polynomial prsten v noncommuting proměnné přes libovolné pole . Dovolit být stupňovaná algebra kvůli definici funkce stupně na něm. $T=F\left[x_{1},...,x_{d}\right]$ ${\displaystyle x_{1},...,x_{d))$ $F$ $T$

Představme jej jako součet podprostorů , kde a má základ prvků tvaru , kde jsou proměnné vybrány z množiny . $T$ $T=T_{0}+T_{1}+\ldots +T_{n}+\ldots$ $T_{0}=F$ $T_{n}$ ${\displaystyle d^{n))$ $x_{i_{1}}x_{i_{2}}...x_{i_{n}}$ $x_{i_{j))$ $\left\{x_{1},...,x_{d}\right\}$

Prvky prostoru nazýváme homogenními prvky stupně . $T_{n}$ $n$

Dovolit být oboustranný ideál algebry , generovaný homogenními prvky stupňů , resp. Zařídíme to tak . Počet těch prvků, jejichž stupně jsou stejné , bude označen jako . ${\mathfrak {U}}=(f_{1},f_{2},...)$ $T$ $f_{1},f_{2},...$ $n_{1},n_{2},...$ $n_{1},n_{2},...$ $2\leqslant n_{1}\leqslant n_{2}\leqslant \ldots$ ${\displaystyle f_{j))$ $i$ ${\displaystyle r_{i))$

Kvocientová algebra zdědí stupňování od kvůli skutečnosti, že ideál je generován homogenními prvky . $A=T/{\mathfrak {U}}$ $T$ ${\mathfrak {U}}$

Kvocientová algebra může být reprezentována jako součet , kde . $A=A_{0}+A_{1}+\ldots +A_{n}+\ldots$ $A_{i}\simeq T/{\mathfrak {U}}\cap T_{i}$

Nechte _ $b_{n}=\dim _{F}A_{n}$

Formulace

Algebra popsaná v podmínkách věty má následující vlastnosti: $A$

$b_{n}\geqslant db_{n-1}-\sum _{n_{i}\leqslant n}b_{n-n_{i))$ pro všechny . $n\geqslant 1$
Jestliže pro každý , pak je nekonečně-dimenzionální přes . $i$ $r_{i}\leqslant \left({\frac {d-1}{2}}\right)^{2}$ $A$ $F$

Důkaz

Důkaz věty zabírá stránky v knize [5] $čtyři$

Viz také

Problém Burnside

Poznámky

↑ Golod E. S. O nil-algebrách a konečně aproximovatelných p-grupách // Izvestiya AN SSSR. Matematická řada. - 1964. - T. 28, číslo 2 . - S. 273-276 .
↑ Golod E. S. , Shafarevič I. R. Na věži třídních polí // Izvestija Akademie věd SSSR. Matematická řada. - 1964. - T. 28, číslo 2 . - S. 261-272 .
↑ Nekomutativní kroužky, 1972 , s. 184.
↑ Nekomutativní kroužky, 1972 , s. 185.
↑ Nekomutativní kroužky, 1972 , s. 180-183.

Literatura

Herstein I. Nekomutativní kruhy. - M .: Mir, 1972. - 191 s.