Lebesgueova věta o expanzi

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 28. září 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu . Úvodní definice

Dovolit být monotónní neklesající funkce , vlevo spojitý [1] a takový, že . Zaveďme opatření na půlení všech intervalů tvaru podle následujícího pravidla: . Tato míra může být rozšířena na Borel sigma algebru . V tomto případě budou rozměry mezer s konci specifikovány následovně. $F$ $\lim _{x\to +\infty }F(x)-\lim _{x\to -\infty }F(x)<+\infty$ $[a,\;b)$ $m$ $m[a,\;b)=F(b)-F(a)$ $a,\;b$

m[a,\;b)=F(b)-F(a)

m(a,\;b)=F(b)-F(a+0)

m(a,\;b]=F(b+0)-F(a+0)

m[a,\;b]=F(b+0)-F(a)

Zde je pravá limita funkce v bodě (existuje, protože funkce je neklesající). $F(a+0)$ $F(x)$ $A$ $F(x)$

Míru lze rozšířit na podmnožiny Lebesgueovy číselné řady. V tomto případě to dopadá - Stieltjesova míra . $m$ $\mu _{F}$

Speciální případy generující funkce : $F$

$F$ je funkce skoku. Skok je vždy kladný, množinu tvoří konečný nebo spočetný počet bodů (skalárů). $A$

$\mu _{F}(A)=\sum \limits _{x_{i}\in A}h_{i}$ je diskrétní opatření.

Funkce F je spojitá, neklesá monotónně na , na . $[a,\;b]$ $(a,\;b)$ $F'(x)=f(x)$

$\mu _{F}(A)=\int \limits _{A}f(x)\,dx$ je absolutně kontinuální opatření.

$F$ - singulární funkce (například Cantorův žebříček , kde je přírůstek 1 na celém segmentu, ale téměř všude ). Míra je soustředěna v růstových bodech funkce. $F$ $konst$

Změřte větu o rozkladu

Libovolná míra Lebesgue-Stieltjes může být reprezentována jako součet tří mír - diskrétní, absolutně spojitá a singulární.

Poznámky

↑ Turilova E. A., Kareev I. A. Prvky teorie míry a Lebesgueův integrál. - Kazaň: Kazaňská federální univerzita, 2016. - str. 29.