Legendreova věta

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 27. května 2016; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Legendreův teorém je prohlášení o podmínkách existence řešení pro určitou podtřídu kvadratických diofantických rovnic , které založil Legendre v roce 1785 .

Formulace

Rovnice

aX^{2}+bY^{2}+cZ^{2}=0,

jehož koeficienty nejsou všechny stejného znaménka a jsou párová prvočísla , má netriviální řešení v celých číslech právě tehdy, když: $a,b,c$ $(X,Y,Z)$

$-ab$ je kvadratický zbytek modulo , $C$
$-před naším letopočtem$ je kvadratický zbytek modulo , $A$
$-cca$ je kvadratický zbytek modulo . $b$

O důkazu

Nezbytnost těchto podmínek je zřejmá, dostatečnost vyplývá z Minkowského-Hasseho věty pro kvadratické formy : kvadratická forma představuje nulu právě tehdy, když představuje nulu ve všech a ve všech oborech -adických čísel . Pro řešitelnost v , jsou potřeba různá znaménka, pro řešitelnost v pro , jsou potřeba výše uvedené symetrické vztahy. $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $p$ ${\mathbb {Q}}_{p}$ $\mathbb {R}$ ${\mathbb {Q}}_{p}$ $p\mid abc$

Souvislost s větou o čtyřech čtvercích

Tato věta může být použita k prokázání Lagrangeovy věty o čtyřech čtvercích, která říká, že všechna přirozená čísla lze zapsat jako součet čtyř čtverců. Gauss poukázal na to, že Věta o čtyřech čtvercích snadno vyplývá ze skutečnosti, že každé kladné celé číslo rovné 1 nebo 2 je součtem 3 čtverců, protože každé kladné celé číslo, které není dělitelné 4, lze na tento tvar redukovat odečtením. 0 nebo 1 toho. Důkaz věty o třech čtvercích je však podstatně obtížnější než přímý důkaz věty o čtyřech čtvercích, který větu o třech čtvercích nepoužívá. Ve skutečnosti byla věta o čtyřech čtvercích prokázána dříve, v roce 1770.

Literatura

Borevich Z.I., Shafarevich I.R. Teorie čísel. - M .: Nauka, 1985. - S. 77-80. — 504 str.